定点问题的升级考法（2020新高考Ⅰ圆锥曲线）

2022-08-08 19:02 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2020新高考Ⅰ，22）已知椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的离心率为 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且过点 $A%5Cleft(%202%2C1%20%5Cright)%20$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）点 $M$ 、 $N$ 在 $C$ 上，且 $AM%5Cbot%20AN$ ， $AD%5Cbot%20MN$ ， $D$ 为垂足.证明：存在定点 $Q$ ，使得 $%5Cleft%7C%20DQ%20%5Cright%7C$ 为定值.

解：（1）由题可知 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%2C%5C%5C%09%5Cfrac%7B2%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1%2C%5C%5C%09b%5E2%2Bc%5E2%3Da%5E2%2C%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $a%3D%5Csqrt%7B6%7D$ ， $b%3D%5Csqrt%7B3%7D$ ，

所以 $C$ 的方程为 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B3%7D%3D1$ .

（2）先画个图

椭圆 $C$ 的方程可化为

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%2B4x-4%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2y-1%7D%7B3%7D%3D1$ ，

整理，得

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D0$ .

设直线 $MN$ 的方程为

$m%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D1$ ，

与椭圆 $C$ 联立（齐次化联立），得

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%5Cleft%5B%20m%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$ ，

展开

$%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B2m%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20m%2Bn%20%5Cright)%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

并项

$%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20m%2Bn%20%5Cright)%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B4m%2B1%7D%7B6%7D%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

各项同除以 $%5Cleft(%20x-2%20%5Cright)%20%5E2$ ，

$%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx-2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cfrac%7B2%5Cleft(%20m%2Bn%20%5Cright)%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx-2%7D%2B%5Cfrac%7B4m%2B1%7D%7B6%7D%3D0$

修饰一下，

$%5Cleft(%204n%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx-2%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%204m%2B4n%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7By-1%7D%7Bx-2%7D%2B4m%2B1%3D0$ ，