【数学基础Ep11】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. stolz公式——

   对于*/∞型的数列xn/yn，其中——

   存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；

   在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；

   公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。

2. lim n^（1/n）=1。

3. 如果向量e1，e2，e3不共面，那么空间任意向量r可以由向量e1，e2，e3线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成e1，e2，e3的线性组合，即r=xe1+ye2+ze，并且其中系数x，y，z被e1，e2，e3，r唯一确定。

参考资料：

1. 《数学分析教程》（常庚哲 史济怀 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀 编）》）——

计算极限：lim（n！）^（1/n^2）

解——

1. ln （n！）^（1/n^2）=（ln 1+ln 2+……+ln n）/n^2；

2. 分子为单增数列，则根据stolz公式：

   lim[（ln 1+ln 2+……+ln n）/n^2]

   =lim{ln n/[n^2-（n-1）^2]}

   =lim{ln n/（2n-1）}

   =lim ln n^[1/（2n-1）]

   =lim ln [n^（1/n）]^[1/（2-1/n）]

   =lim [1/（2-1/n）]*lim  ln [n^（1/n）]

   =（1/2）*0=0

3. lim（n！）^（1/n^2）

   =lim e^[ln （n！）^（1/n^2）]

   =e^lim[ln （n！）^（1/n^2）]

   =e^0=1.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知OA=r1，OB=r2，OC=r3是以点O为顶点的平行六面体的三条边，又该平行六面体过点O的对角线与平面ABC的交点为P，求向量OP.

解：记该平行六面体过点O的对角线为OQ，点P在平行六面体的对角线OQ上，即存在实数λ，使得OP=λOQ——

1. OP=λOQ=λ（OA+OB+OC）=λ（r1+r2+r3）=λr1+λr2+λr3；

2. 向量AP在平面ABC，即为由向量AB，AC所决定的平面上，所以由共面条件得知存在实数ɑ，β，使得——

   AP

   =ɑAB+βAC

   =ɑ（OB-OA）+β（OC-OA）

   =ɑ（r2-r1）+β（r3-r1）；

3. 即

   OP-OA=ɑ（r2-r1）+β（r3-r1）；

4. 整理得：OP=（1-ɑ-β）r1+ɑr2+βr3；

5. 则，λ=1-ɑ-β=ɑ=β，解得λ=1/3；

6. OP=（r1+r2+r3）/3.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

如果向量β可以由向量组ɑ1，……，ɑs线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是ɑ1，……，ɑs线性无关。

证明：设β=b1ɑ1+……+bsɑs

a.充分性

设ɑ1，……，ɑs线性无关。

如果还有β=c1ɑ1+……+csɑs，

那么b1ɑ1+……+bsɑs=c1ɑ1+……+csɑs，

从而（b1-c1）ɑ1+……+（bs-cs）ɑs=0，

由于ɑ1，……，ɑs线性无关，因此有

b1-c1=……=bs-cs=0，即b1=c1……bs=cs，

因此β由ɑ1，……，ɑs线性表出的方式唯一。

b.必要性

假如β由ɑ1，……，ɑs线性表出的方式唯一。

假如ɑ1，……，ɑs线性相关，则有不全为0的数k1，……，ks，使得

k1ɑ1+……+ksɑs=0，

于是β=（b1+k1）ɑ1+……+（bs+ks）ɑs，

由于k1，……，ks，不全为0，

因此（b1+k1，……，bs+ks）与（b1，……，bs）不相等，

于是β由ɑ1，……，ɑs线性表出的方式至少有两种，这与表出方式唯一矛盾，

因此ɑ1，……，ɑs线性无关。

就到这里！