2023数分Day62(多元函数的极限与连续2：连续与一致连续)

一、本节整体

对于多元函数连续性的定义需要深刻把握；

对于利用三角形不等式放缩的技巧要炉火纯青，加一项减一项要有眼力；

对于一些不等式以及求极限的能力要有所准备，常练多练，掌握更多技巧。

二、需要复习掌握的

1、一元函数连续及其一致连续的定义，如何叙述要清晰

2、多元函数连续及其一致连续的定义，如何叙述要清晰

3、一个极限的运算（3次根号下∞-∞类型）可以借此复习极限运算的各种类型。

4、一个补充的不等式（今年华东师大真题有用到）

推论：

三、具体题目

1、（华南理工）（课本有原型）

想要证明二元函数开域连续，用定义。去凑，加一项减一项，注意拆成两项后，第一项的x并非固定量，所以继续利用y单调递减，把会动的y变为不会动的y,利用单调性，f(x,y)∈（f(x,y0+δ），f(x,y0-δ））（因为y是单调递减的）；

然后使得|f(x,y)-f(x0,y0)|≤|f(x,y0±δ）-f(x0,y0)|,对这个式子再拆，拆出来的两项分别关于单变量x,y连续，所以各自小于ε，即证得。

2（同济大学）（课本原题的变形）

充分考察开集的定义以及连续的定义书写，还有原象与象的关系。

先考虑必要性：利用f连续，先设出一个开集A，记A的原象为S=f^-1(A).

对S分类讨论.

S为空集（利用空集即为开集又为闭集的性质），S为开集；

S不为空集，任取x0∈S，于是f(x0)∈A（利用象和原象的关系）；再结合A是开集的定义；再使用f在x0的连续性的定义，得到S为开集。

再考虑充分性：先找一个开集，说他的原象集也是开集；再利用开集定义，象就在之前找的开集上面，得出f在x0连续的结果，再利用x0的任意性得出f的连续性。

（这道题要多写几遍，有助于更好理解开集的定义、象与原象关系以及对连续定义的书写）

3（四川大学）

①先利用闭域上连续必然一致连续的性质

②写出一致连续的定义

③利用题干

④取上确界，用一下相关放缩

⑤利用x0的任意性，得出在【0，1】上连续。

注：书写过程②中非常容易漏掉一点：“当（x',y'）,(x'',y'')∈【0，1】✖【0，1】”，这一句不能漏！！！

（下面还有一个这道题在三元情况下的原型，本题为二元情况，思路一致，只不过根据题干不同作出不同书写罢了）

4（华东师大）

考察一致连续和不一致连续的定义书写

关键在观察题干中有一个导数有界，自然会想到使用中值定理；

第一问：先写出Lagrange中值定理，利用题干条件放缩之后，对于二维空间中的任意两点，利用二元函数连续性的定义，函数值作差，需要利用一个不等式（见本专栏二、4），然后写出连续的定义即可

第二问：仍然利用Lagrange中值定理，不过先记出函数g(x,y)=f(x^3+y^3),考虑两个点列相减极限为0，但是函数值相减的极限不等于0，说明不一致连续。（求点列极限相减极限为0，详见本专栏二、3）利用一下Lagrange中值定理，得到函数值相减为|f'(η)|≥A，而A由题干知道是大于0的正数，所以极限不为0，因此不一致连续。