经济学小贴士（119）生产函数（2）

规模收益

看完生产之后，我们就会问：如果变化这两种生产因素，我们的生产会怎么变呢？比如，劳动量和资本都增加了一倍。规模收益（Returns to Scale RS）就帮我们解决了这个问题。规模报酬的定义是当所有的因素变化了同样比例，产出的改变是多少。放在生产函数里就是K和L同时增加x倍，产出会变化多少F(xK, xL)（这里我们忽略A，因为A是已知的参数）。当这两个变量都变化x倍的时候，Y就会变化x的s次方倍。因此，生产函数的规模报酬就是

如果s=1,这说明xY= F(xK, xL)，产出也跟着增加了                                               倍，因此，这就是规模收益不变(constant returns to scale CRS)。如果s>1，这说明如果这两种生产因素增加了倍，产出增加了大于倍，也就是说，产出增加的比我们投入的还多，因此这就是规模收益递增(increasing returns to scale IRS)。如果s<1，这说明如果这两种生产因素增加了倍，产出增加的小于倍，产出增加的比我们投入的少，因此这就是规模收益递减(decreasing returns to scale DRS)。在柯布—道格拉斯生产函数中我们会发现

此，柯布—道格拉斯生产函数是规模收益不变的例子。同时，从刚才的推导我们可以发现，如果没有任何生产因素的可利用性的限制，我们总是可以通过建立现有生产因素的复制品来使当前的产量翻倍。继续用上一个例子，如果现在有两个大桥君，两个阿陈和四个烤箱，那么豆沙面包的产量就是一个大桥君，一个阿陈和两个烤箱的两倍。

利润最大化

当我们了解完生产因素对产出的影响之后，我们就想了解什么时候企业可以让利润最大化（Profit Maximization）。我们假设企业可以自行选择K和L来让利益最大化。利润就等于企业的产出减去工人的工资减去资本的租金，也就是π=F(K,L)-r*K-w*L。其中，代表利润（profit），r代表资本的租金（rental rate of capital），w代表工人的工资（wage rate）。在一次导的情况下我们可以发现

在之前，我们得出了

因此，我们可以说在利润最大化的情况，MPK=r, MPL=w。同时我们也可以假设，如果MPK<r，那就是说，资本边际产量小于资本的租金。这说明企业加一单位的资本，缴纳的租金大于企业产，那企业就是在亏钱，纯纯大冤种。于是，企业需要减少资本。边际产量递减说明的是每增加一单位的生产因素的产出是不断减小的，反过来就可以说每减少一单位的生产因素的产出是不断增大的。因此，只要减少资本，MPK就会增大，知道MPL=r。当然，MPK>和MPL与w的关系也是同理。根据MPK=r, MPL=w这两个等式，我们也可以画出资本和劳动量的需求曲线：

根据第一张图，如果企业给出的工资是w1，但是员工的劳动量是L0，那么MPL(L0)=w0>w1（如图）。那么，现在就成为MPL>w的问题了。每多雇一个员工的成本小于这个员工的产出，所以企业就会继续雇员工，直到到达L1。同样，这种情况也适用于资本。