双曲函数||高中遗漏的重要内容

我们在高中都会熟悉三角函数:

也会了解它有许多性质：

当然，我们也会学习指数函数：

它具有导数正比于自身的性质：

接下来，如果我们使用指数函数构造出以下函数，定义为双曲函数：

它们分别叫双曲正弦、双曲余弦函数。虽然粗看下它与真正的正余弦好像没有什么关系，但是稍作计算，我们很容易验证它们几乎满足全部上面列举的三角函数的性质：

这时候你会说“你这个函数没有周期性啊”

也可能会觉得前面这些性质相似都是巧合，数学形式类似而已。

但是，让我们把目光放到复数域，其实，我们学的三角函数与指数函数，它们是同一个东西。联系它们的就是著名的公式：

这里是虚数单位。

关于这个公式是怎么回事，可以参考这个...

这个视频里面用复平面的矢量旋转来理解。这是一个比较简单易懂的理解，而主流的方法是用泰勒级数来证明。

有了欧拉公式，就有以下操作：

所以除了几个系数，三角函数和双曲函数本质上也是一样的。它们有几乎相同的性质也就完全不奇怪了。事实上我们甚至不能说双曲函数没有周期性，因为它们在复数域都有虚周期.