三角形外接圆＞三角形＞三角形内接圆

在上图中，我们能够发现两个很简单的不等关系：

外接圆面积＞三角形面积＞内切圆面积

外接圆周长＞三角形周长＞内切圆周长

即S外＞S＞S内；C外＞C＞C内

下面，我们采用分析法证明这四个结论。

1.S外＞S

通过正弦定理，我们能够得到外接圆半径为

R＝a/2sinA，于是S外＝πa²/(4sin²A)

S＝bcsinA/2。欲证S外＞S，即证

πa²/(4sin²A)＞bcsinA/2

变形，即πa²＞2bcsin³A

代入正弦定理，并且由于sin²A＞0，约去，即

π/2＞sinAsinBsinC

下面只需要在△ABC中求sinAsinBsinC的最大值（就是在A+B+C＝π这个约束条件下求

sinAsinBsinC最大值）即可。

由基本不等式，

sinAsinBsinC≦[(sinA+sinB+sinC)/3]³

∵y＝sinx在(0,π)上是上凸函数，由琴生不等式

[(sinA+sinB+sinC)/3]³≦[sin(A+B+C)/3]³

＝(3✓3)/8＜π/2

即sinAsinBsinC＜π。以上过程可倒推，Q.E.D.

2.C外＞C

正弦定理，R＝a/2sinA，故C外＝πa/sinA

欲证πa/sinA＞a+b+c，代入正弦定理，得

π＞sinA+sinB+sinC，而π＞3，因此

π＞3≧sinA+sinB+sinC，这个结论是明显的，Q.E.D.

这个结论还可以更简单地证明：由“两点之间线段最短”可知弧AB，弧BC，弧AC的长度是比AB，BC，AC更长的，利用不等式的可加性加起来即得到三角形外接圆周长大于三角形周长。

3.S内＜S，C内＜C

我们知道三角形有一个面积公式S＝Cr/2，

其中C为三角形周长，r为三角形内接圆半径。因此我们能够得到r=2S/C。

欲证S内＜S，即4πS²/C²＜S，化简，得

4πS＜C²，而S=Cr/2，代入并化简，得

2πr＜C，也就是C内＜C。

也就是说，只要我们证明了C内＜C，就能证明S内＜S。

先添一点辅助线。

在这些直角三角形中，我们得到

x=rcot(A/2)=rcotα

y=rcot(B/2)=rcotβ

z=rcot(C/2)=rcotγ

∴C＝a+b+c=2(x+y+z)

欲证C内=2πr＜C=2(x+y+z)

即π＜cotα+cotβ+cotγ

而y=cotx在(0,π/2)上是下凸函数，由琴生不等式，cotα+cotβ+cotγ≧3cot(α+β+γ)＝3✓3＞π

原命题成立。Q.E.D.

发布于：2022.04.03

修改于：2023.11.07

第二次修改：2023.12.15