【零基础学经济Ep64】查漏补缺——数学基础（六：史老师视频微分方程）+经济概念梳理
整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后聊“边际替代率”。
part 1 史济怀老师视频课微分方程部分
&2.一阶微分方程
一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。
&2.3一阶线性方程
先把之前聊过的内容复习一下——
线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。
原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。
非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。
依然按照从简单到复杂的顺序，最简单的线性方程是一阶线性微分方程，所以我们就从这种类型开始了。
一阶线性微分方程——即只含有一阶导数的线性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一阶线性微分方程又分为两种——
齐次方程——Q（x）恒为0；
非齐次方程——Q（x）不恒为0。
注意：
这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；
非齐次方程的解可由齐次方程的解获得，所以先解决齐次方程的解即可。
一阶齐次线性方程的通解——
dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——变量分离的方程，两边取积分；
ln |y|=-∫ P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫ P（x）dx）——其中C的取值取决于C1，C=e^C1或C=-e^C1。
注意——绿字部分的解是要背下来的。
一阶非齐次线性方程的通解——常数变易法：利用齐次方程的通解y=Ce^（-∫ P（x）dx）——（重点！！！）——
方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒为0；
将齐次方程通解中C换成未知函数u（x），即y=ue^（-∫ P（x）dx）；
由2得dy/dx=u'e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）；
将2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫ P（x）dx）=Q（x）；——注意到绿色部分可以消去；
由4解出u（x）——
u‘e^（-∫ P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫ P（x）dx），
u=∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C；
将5代入2中，y=e^（-∫ P（x）dx）（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C）；
将6中式子改写得到，y=Ce^（-∫ P（x）dx）+[e^（-∫ P（x）dx）]（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx）；
注意：
1.第一项（红色部分），为齐次线性方程的通解；
2.第二项（绿色部分），为非齐次线性方程的一个特解（C=0时）。
例子下次说！
part 2 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——
引入了效用的概念——
效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。
效用的度量——
基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。
序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。
边际替代率（MRS）——在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品消费数量，被称为商品的边际替代率。
商品1对商品2的边际替代率公式——
MRS12=-ΔX1/ΔX2——ΔX1和ΔX2分别为商品1和商品2的变化量，负号因为两种商品变化是相反的，为了保证结果是正数，所以加上负号；
ΔX1趋向于0时，公式为——MRS12=-lim ΔX1/ΔX2=-dX1/dX2——无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点的斜率的绝对值。
边际替代率递减规律——在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。
原因——随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而，他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。
几何意义——
在连续的意义上，边际替代率递减规律决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，即无差异曲线是凸向原点的；
离散的角度上，当消费者沿着既定的无差异曲线由a运动到b点时，商品1的增加为ΔX1，商品2的减少量为ΔX2，这两个变量的比值的绝对值-ΔX1/ΔX2，就是由a点运动到b点的MRS12。
明天继续！
