【种花家务·代数】1-3-05去括号与添括号『数理化自学丛书6677版』

2023-09-18 18:17 作者:山嵓 0人读过 | 我要投稿

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式

§3-5去括号与添括号

1、去括号

【01】在多项式的加减法计算中，已经实施了去括号。因此，去括号的法则，就可以从加减法的法则中总结出来。

【02】例如：依照加法法则，a＋(b－c＋d)＝a＋b－c＋d 。

【03】又如：依照减法法则，a－(b－c＋d)＝a－b＋c－d 。

【04】由此，我们得到下面的去括号法则：

(ⅰ)如果一个括号前面是“＋”号，可把括号和括号前面的“＋”号一并去掉，括号里面的各项一律不变，但原来括号里面的第一项如果省略掉正号的，要补上去。

(ⅱ)如果一个括号前面是“－”号，把括号和括号前面的“－”号一并去掉时，括号里面的各项，原来带有“＋”号的改做“－”号，原来带有“⁻”号的，改做“＋”号。

例1.去掉下面各式里的括号，并进行化简：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)7a%2B(a%2B2b)%2B(-3a-b)%2B(%2B4a-3b)%3B%5C%5C%0A%26%26(2)2x-(x%2B3y)-(-x-y)-(%2Bx-y%2B2z)-(2x-3y%2B4z).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A(1)%26%267a%2B(a%2B2b)%2B(-3a-b)%2B(%2B4a-3b)%5C%5C%0A%26%26%3D7a%2Ba%2B2b-3a-b%2B4a-3b-9a-2b%3B%5C%5C%0A(2)%26%262x-(x%2B3y)-(-x-y)%20-(%2Bx-y%2B2z)-(2x-3y%2B4z)%20%5C%5C%0A%26%26%3D2x-x-3y%2Bx%2By-x%2By-2z-2x%2B3y-4z%20%5C%5C%0A%26%26%3D-x%2B2y-6z.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

例2.去括号并化简：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cquad%20a%2B%5C%7B3b%2B%5B2b-(5a%2B3a)%5D%5C%7D%3B%5C%5C%26(2)%5Cquad3x%5E3-%5C%7B5x%5E3-%5B2x-(3x%5E2-3x%2Bx%5E3)%5D-5x%5C%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A(1)%26%26a%2B%5C%7B%203b%2B%5B2b-(5c%2B3a)%5D%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%2B%5C%7B3b%2B%5B2b-5c-3a%5D%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%2B%5C%7B3b%2B2b-5c-3a%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%2B%5C%7B5b-5c-3a%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3Da%2B5b-5c-3a%3D-2a%2B5b-5c%3B%20%5C%5C%0A(2)%26%26%203x%5E3%20-%5C%7B5x%5E2-%5B2x-(3x%5E2-3x%2Bx%5E3)%5D-5x%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%26%26%3D3x%5E3-%5C%7B5x%5E3-%5B2x-3x%5E3%2B3x-x%5E3%5D-5x%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3D3x%5E3-%5C%7B%5Ctext%7B%D0%B1%7Dx%5E3-%5B%5Ctext%7B%D0%B1%7Dx-3x%5E2-x%5E3%5D-%5Ctext%7B%D0%B1%7Dx%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3D3x%5E3-%5C%7B5x%5E2-5x%2B3x%5E2%2Bx%5E3-5x%5C%7D%20%20%5C%5C%0A%26%26%3D3x%5E%7B3%7D-%5C%7Bx%5E%7B3%7D%2B8x%5E%7B2%7D-10x%5C%7D%20%5C%5C%0A%26%26%3D3x%5E3-x%5E3-8x%5E2%2B10x%3D2x%5E3-8x%5E2%2B10x%0A%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【说明】有几层括号的，先去里层括号，再去外层的；在去掉一层括号后，如果括号里可以先行合并同类项的，应该先行合并，这样就比较简便。

习题3-5(1)

去下列各式的括号并化简：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%815a%2B(4b-3a-2c).%5C%5C%0A%26%262%E3%80%816x-(5y-4x%2B3z).%5C%5C%0A%26%263%E3%80%814xy%2B(x%5E2%2B3xy-2y%5E2)-(x%5E2-5xy%2By%5E2).%5C%5C%0A%26%264%E3%80%815a%2B%5C%7B9a-%5B7a-(3a-5b)%5D%5C%7D.%20%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81a%2B2b-%5Bc%2B2a-(3b%2B2c)%5D%2Bc.%20%20%5C%5C%0A%26%266%E3%80%81%20x-%5C%7By-2z%2B%5B3x-(y%2B2z)%2B5y%5D%5C%7D.%20%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81%20-3a-%5C%7B3x%2B%5B3c-(2y%2B4x%2B5a)%5D%5C%7D.%20%5C%5C%0A%26%26%208%E3%80%812a%5E%7B8%7D-%5B3a%5E%7B2%7D%2B(2a-5)%2B3a%5D.%20%20%5C%5C%0A%26%269%E3%80%819x-%5C%7B15y-%5B4x-(11y-2x)-10y%5D%2B2x%5C%7D.%20%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%81x-%5By%2Bz-x-(x%2By)-z%5D-(2x%2By-3z).%20%20%5C%5C%0A%26%2611%E3%80%81x%2B%5B4x-(13y-4x)%5D-%5B4x-(9x-7y)%5D.%20%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%261.%5Cquad2a%2B4b-2c%3B%5Cquad2.%5Cquad10x-5y-3z%3B%5Cquad3.%5Cquad12xy-3y%5E2%3B%5C%5C%264.%5Cquad10a-5b%3B%5Cquad5.%5Cquad-a%2B5b%2B2c%3B%5Cquad6.%5Cquad-2x-5y%2B4z%3B%5C%5C%267.%5Cquad2a-3c%2Bx%2B2y%3B%5Cquad8.%5Cquad2a%5E3-3a%5E2-5a%2B5%3B%5Cquad9.%5Cquad13x-36y%3B%5C%5C%2610.%5Cquad%20x-y%2B3z%3B%5Cquad11.%5Cquad14x-20y%3B%5Cquad12.%5Cquad-4x%5E3%2B8x%5E2-4x-12.%5Cend%7Baligned%7D$

2、添括号

【05】有时我们也需要把一个多项式的几个项用括号括起来，表示这几项要先行合并，这个手续叫做添括号。根据去括号的法则可以得到下面的添括号的法则：

(ⅰ)在添括号的时候，如果要在括号前面用一个“＋”号，那末括起来的各项的性质符号，不必变动。

(ⅱ)在添括号的时候，如果要在括号前面用一个“－”号，那末括起来的各项的性质符号，都要改为相反的符号。

例3.把下面各式的后面两项用括号括起来，并在括号前面用一个“＋号：(1) 3x＋5y－3z；(2) 3x－5y＋3z 。

【解】(1) 3x＋5y－3z＝3x＋(＋5y－3z)；(2) 3x－5y＋3z＝3x＋(－5y＋3z) 。

【说明】括起来各项的符号，完全不变。

例4.把下面各式的后面两项用括号括起来，并在括号前面用一个“－”号：(1) 3a＋5b－3c；(2)－5a－3b＋5c 。

【解】(1) 3a＋5b－3c＝3a－(－5b＋3c)；(2)－5a－3b＋5c＝－5a－(＋3b－5c) 。

【说明】括起来各项的符号，一律改成相反的符号。

例5.把下面各式的后面两项用括号括起来，并把原来第二项的性质符号保留在括号外面：(1) 3a＋5b－3c；(2) 3a－5b－3c 。

【解】(1)3a＋5b－3c＝3a＋(5b－3c)；(2)3a－5b－3c＝3a－(5b＋3c) 。

【说明】

(1)的第二项前面原来是一个正号，保留在括号外面，里面各项符号一律不变，括号内的第一项的正号可以省略不写。

(2)的第二项原来是一个负号，保留在括号外面，里面各项符号一律改变，括号内的第一项改成正号后，正号可以省略不写。

从例5我们可以看出，在添括号时，如果把括起来各项的第一项的性质符号保留在括号外面，那末括号内第一项总是一个正号，后面各项的符号则根据前面是“＋”号还是“－”号，确定不变或改变符号。

习题3-5(2)

把下面各式的后面两项用括号括起来，并把第二项的性质符号，保留在括号外面：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81%203x%2B5y-6z%3B%5Cquad%26%262%E3%80%81%203x-6y%2B5z%3B%20%5C%5C%0A%26%263%E3%80%81-2a%2B3b%2B5c%3B%20%26%264%E3%80%81%203x-6y-5z%3B%20%5C%5C%0A%26%265%E3%80%81-2a%2B3b-5c%3B%20%26%266%E3%80%81%20-2a-3b-5c%3B%5C%5C%0A%26%267%E3%80%81%20x%5E2-3x-5%3B%20%26%268%E3%80%81%20x%5E2%2B3x-5%3B%20%5C%5C%0A%26%269%E3%80%81a%5E3-3a%5E2b-b%5E3%3B%20%26%26%2010%E3%80%81%2Ba%5E3%2B3a%5E2b%2Bb%5E3.%20%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

[解法举例：3x＋5y－6z＝3x＋(5y－6z)；3x－6y＋5z＝3x－(6y－5z)]

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%263.%5Cquad-2a%2B(3b%2B5c)%3B%5Cquad4.%5Cquad3x-(6y%2B5z)%3B%5C%5C%265.%5Cquad-2a%2B(3b-5c)%3B%5Cquad6.%5Cquad-2a-(3b%2B5c)%3B%5Cquad7.%5Cquad%20x%5E3-(3x%2B5)%3B%5C%5C%268.%5Cquad%20x%5E2%2B(3x-5)%3B%5Cquad9.%5Cquad%20a%5E3-(3a%5E2b%2Bb%5E3)%3B%5Cquad10.%5Cquad%20a%5E3%2B(3a%5E2b%2Bb%5E3).%5Cend%7Baligned%7D$

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习题3-5(1)

习题3-5(2)