很水的数学分析082：准一致收敛

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1.回扣这部分主题。即换序问题，或者说函数项级数的分析性质可不可以利用逐项求。

2.金牌例子：x^n。此处用它来说明一致收敛不是Cauchy说的那句话成立的必要条件。

（Cauchy说的那句话：若连续的函数项级数收敛，则和函数也连续）。

3.探求限制在闭区间上，一致收敛是不是必要条件，这就是函数列的Dini定理。

证明：思路跟Heine—Cantor定理证明思路如出一辙，也是用有限覆盖定理。

Heine—Cantor定理说的是函数在闭区间上连续，则一致连续。目标是找一致的δ。

Dini定理是说闭区间上函数列连续，且极限函数连续，且｛fn(x)｝单调，则函数列一致收敛于极限函数。目标之一是找一致的N。原理是由于连续，会让x变化时收敛速度趋同。

具体操作：先是令φn(x)=fn(x)–f(x)（→0），也是之前反复用的方法。

然后可以不用单调这一条，只结合连续，用有限覆盖定理找到共同的N，得到｜φNx₀｜＜ε，实际上推出了准一致收敛。

最后跟单调一结合，得到｜φn｜＜ε，推得一致收敛。

4.函数项级数的Dini定理。

把函数列情况转到函数项级数，Sn单调，即对应fn定号。

5.Arzelà定理。

即若逐项连续，则函数项级数连续性的充要条件是准一致收敛。

必要性在去掉单调以后即Dini定理。充分性思路同极限函数的连续性。只是把[a,b]分成若干小区间（分别覆盖于某个开区间），然后在小区间内讨论。准一致收敛下各小区间的情况跟一致收敛下整个区间的情况完全相同。

6.我现在对于准一致收敛的理解是：一致收敛是说找到满足条件（∀n＞N，｜fn(x)–f(x)｜＜ε）的统一的(不依赖x的)N。但现在不需要，退而求其次，只需存在一个统一的(不依赖x的)N'，使得N'之前的某项fnₓ满足｜fnₓ(x)–f(x)｜＜ε即可。

7.逐项积分定理。一致收敛是充分条件，非必要条件。

8.可惜的Arzelà控制收敛定理。