数量关系笔记整理

提升技巧在学习基础知识后多刷题，提高熟练度，和速度

倍数特性核心公式:

    ① 若A:B =m:n（m、n互为质整数），则A是m的倍数，B是n的倍数，的（B÷n）倍

    ②若A:B:C=m:n:p，则A是m的倍数，B是n的倍数，C是p的倍数, A+ B+C是m +n +p的倍数。

倍数特性四大应用：

    ①当条件中出现比例：m:n或m:n:p

    ②当条件中出现分数：

    ③当条件中出现百分数：%

    ④当条件中出现倍数：n倍 

倍数特性两点注意：

    ① 2、4、5、8不适用，除非明确告知是整数倍

    ② 不考虑小数点

整除特性：

    ①能被3或9整除的数的特征是这个数的各数位上的数字之和能被3或9整除;

证明：abc=100a+10b+c

                =99a+9b+(a+b+c)

    ②能被2或5整除的数的特征是这个数的末一位数字能被2或5整除；

证明：因为10能被2和5整除，所以只用控制个位能被整除即可

    ③能被4或25整除的数的特征是这个数的末两位数字能被4或25整除;

证明：因为100能被4和25整除，所以只用控制末两位能被整除即可

    ④能被8或125整除的数的特征是这个数的末三位数字能被8或125整除；

证明：因为1000能被8和125整除，所以只用控制末三位能被整除即可

    ⑤能被6整除的数的特征是这个数能同时被2和3整除；

证明：因为6可以质数分解为2和3

    ⑥能被7、11或13整除的数的特征是未三位数字与未三位之前数字之差的绝对值能被7、11或13整除。

证明：abcde=ab×1000+cde

                    =ab×1001+(cde-ab)

    1001=7×11×13

余数特性

一、余数的基本概念

①若A÷B=Q…….R（A称为被除数，B称为除数，Q称为商，R称为余数）

②A=B×Q+R(被除数=除数×商+余数）

③R<B（余数小于除数，余数的最大值为B-1)

二、余数基本运算：

余数加法定理：若A➗C=Q1……R1，B➗C=Q2……R2

则（A+B）➗C的余数为（R1+R2）➗C的余数

三、同余定理

余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期

例:余同取余  x➗4.....1;x➗5.....1 则x=20n+1

和同加和  x➗4.....3;x➗5.....2 则x=20n+7

差同减差  x➗4.....1;x➗5.....2 则x=20n-3

植树问题：

1. 单边线性植树：棵树=总长÷间隔+1，总长=（棵树-1）×间隔；

2. 楼间植树：棵树=总长÷间隔-1，总长=（棵树+1）×间隔；
   

3. 单边环形植树：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔；

注意：区分题干中是马路单边植树还是马路双边植树

剪绳问题：在绳子中间剪N刀，能得到(N+1)段

日期时间常识

• 普通闰年：年份是4的倍数且不是100的倍数

• 世纪闰年：年份是400的倍数

• 

错位重排问题

    错位重排问题又称错装信封问题，该问题表述如下：

    编号是1、2、...、n的n封信，装入编号为1、2、...、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，又多少种装法？

    对这类问题有个固定的递推公式

    实际应用中也可以只记住前5项

集合容斥问题

    三集合的覆盖面积=三圆面积和-重叠一次的面积-2倍重叠两次的面积

    三集合覆盖面积=三圆形面积的和-两两相交的面积+三个都覆盖的面积

    设全体的数量为m，全体之下的几何分别为A、B、C、D...，并用a、b、c、d...表示每个集合的数量，则有(最小值集合尽量少的相交)：

循环赛

1. 单循环赛：每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是

2. 双循环赛：每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N支队伍的总场次是

3. 单场淘汰赛：比如8人，8进4的淘汰赛、4进2的淘汰赛、2进1的淘汰赛

方阵

    若正方形方阵一边人数是N，长方形方阵两边人数分别为M、N则

1. 正方形实心方阵的总人数是N×N，长方形实心方阵的总人数为M×N

2. 正方形方阵最外层人数4N-4，长方形方阵最外层人数2（M+N）-4

3. 方阵相邻两层相差8人

拿牌问题

    第一次拿完牌后，恰好凑成最大最小之和的倍数，才能保证第一次拿的人，最后以此也能拿到

球体的体积公式

球的面积公式

圆锥体的体积公式

圆锥的面积公式

圆周角定理：直径所对的圆周角是直角

结论：过圆心且垂直于圆面的直线上的点，到圆周的距离都相等

应用：

    例：水平面上的三点A、B、C。A在B的正北方,C在B的正东方，AC相距600m，空中无人机同时与A、B、C三点相距500m时。求无人机的飞行高度。

    根据结论可知道高度为400m

质数又叫做素数：只可以被1和自身整除

合数：除了1和自身，还能被其他整数整除

约数个数理论：如果一个合数X分解质因数形式为则该合数的约数个数=（m+1）(n+1)(l+1)...

所有整数中，完全平方数的约数个数为奇数，其他整数的约数个数为偶数

等比数列求和公式

平均数大小比较

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数

以两个正数x、y为例，，当且仅当x=y时等号成立。证明过程

年龄问题优先使用代入排除法

12×15=180

12×25=300

•     极值蒙题：问最大，蒙最大；问最小，蒙次小或最大
  

•     3+1蒙题：题型识别：3+1（3项等差|等比+1项特殊）蒙接近"特殊项"数字选项

  例 A、25    B、35    C、36    D、45

•     迷惑项蒙题：如果你是命题人，你会怎么设计选项？

  例：甲和乙一共是30元，且甲大于乙，求甲是多少钱？

  A、5    B、12、    C、18    D、28

  思路：出题思路12+18=30,12可能是乙作为迷惑项，18可能是甲

• 找共性蒙题：找选项间共性最多的选项（取同、去异）

• 常识蒙题：生活常识、计算常识（大数-小数=正数）

• 区间问题：一般选第三段

• 几何问题蒙题：求边长、棱长、半径一般蒙整数的选项

• 三量问题（工程、行程等问题v、t、s）：注意通过倍数等细节关系

• 独奇独偶：3奇1偶选偶数；3偶1奇选奇数

• 概率问题：发生的概率和不发生的概率和是1

• 一般题目中出现的数据不会出现在正确选项中

蝴蝶定理在平行四边形中的应用

应用例题：可以快速的计算出结果为12