1. 欧拉法

由拉格郎日中值定理，在区间内必定存在，使得：

所以。如果知道，代入这个递推公式，那么递推过程得到的序列，没有误差。但求往往很困难，常用一个易求的值近似地代替。显式欧拉法、隐式欧拉法、梯形公式法、中点欧拉方法的区别是对和的近似方法不同。

(1)显式欧拉法

显式欧拉法把近似为区间的起点，即

显式欧拉法是单步法，每一轮递推只用到前面一轮递推的结果。欧拉公式具有明显的几何意义，就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称为欧拉折线法。由泰勒展开式可知显式欧拉法具有1阶精度。

显式欧拉法在步长过大时误差较大；在步长较小时需要多步递推，可能出现误差累积的现象。由于显式欧拉法的精度不高，因此在实际应用中用的较少。

(2)隐式欧拉法

隐式欧拉法把近似为区间的终点，即

隐式欧拉法是隐式方法，递推公式的右端包含未知量，故隐式欧拉法需要求解方程，得出。

为避免求解方程，常用显式欧拉法的计算结果作为迭代的初值，把隐式欧拉法的递推公式作为迭代公式反复迭代，得到迭代序列。如果步长足够小，那么迭代序列收敛于。

隐式欧拉法具有1阶精度。

(3)梯形公式法

梯形公式法把近似为区间的起点和终点导数的平均值。递推公式为：

显然，梯形公式法是隐式方法，需要求解方程。为避免解方程，常用显式欧拉法的计算结果作为迭代的初值，把梯形公式法的递推公式作为迭代公式反复迭代，得到迭代序列。如果步长足够小，那么迭代序列收敛于。

梯形公式法具有2阶精度。

(4)中点欧拉法

中点欧拉法把近似为区间的中点，即

中点欧拉方法是双步法，需要2个初值和才能启动递推过程。一般先用单步法由点计算出，再用中点欧拉方法反复地递推。

中点欧拉方法具有2阶精度。

(5)改进的欧拉法

改进的欧拉法是一种预测—校正方法，它的每一轮递推包括预测和校正这2个步骤：

（1）先用显式欧拉公式计算出，，即预测；

（2）再用梯形公式迭代一次，即校正。

改进的欧拉法精度比显式欧拉法高，不需要解方程，是一种更实用的方法。

2. 欧拉法MATLAB算法实现

如下算法实现五种形式的欧拉法，根据用户选择ode_method的方法，采用不同的欧拉法求解。

3. 欧拉法算法测试

例1：采用五种欧拉法求解一阶微分方程，已知解析解为。

测试代码如下：

测试结果：输出参数为结构体，如显式欧拉法的输出结果：

可视化图像如图1和图2所示，可见较小的步长可获得较高的精度，但注意计算时的舍入误差和误差累积。