正多边形的不寻常作图法（13，14，18，19）-重制版

正多边形的不寻常作图法（中-1）

一．13边形

第一种作法

1. 如图作圆O，y轴正方向半径OK0=12/sqrt(26-6*sqrt(13))。

2. x正半轴截取OA=1，过点A作斜率为-3*sqrt(3)/5的直线l，同y轴交于B。

3. 作半径为3+sqrt(13)的圆A，与x正半轴交于，与l交于D。

4. 直尺绕D点转动，同圆A交于F，同x轴交于G。直到FG=AD（角OAF=1/3*角DAC)，则从F点引x轴垂线，交下半圆O于K4。那么，圆O的弧K0K4是4/13个圆周。

原理：sin(18*pi/13)是方程x^3-sqrt(26-6*sqrt(13))/4*x^2-sqrt(13)/4*x+sqrt(26+6*sqrt(13))/16=0三个实根唯一为负值者，很轻易推算出其值为(sqrt(26-6*sqrt(13))-(20*sqrt(65+18*sqrt(13))+12*sqrt(-195-54*sqrt(13)))^(1/3)-(20*sqrt(65+18*sqrt(13))-12*sqrt(-195-54*sqrt(13)))^(1/3))/12。进一步转换，12*sin(18*pi/13)=sqrt(26-6*sqrt(13))*(1-(3+sqrt(13))*cos((arctan(sqrt(27/25)))/3))。而18*pi/13等价于顺时针转4/13个圆周。

第二种作法

1.如图作圆O，x轴正方向半径OA0=12，直径AA0=24。

2.OA0中垂线l，交x轴于B，自l截取BC=sqrt(39)+sqrt(3)。

3.从线段OB截取线段OD=-1+sqrt(13)，并作过C点的圆D。

4.直尺绕C点转，同x轴交于F，同圆D交于E。直到EF=CD（角EDA=1/3*角A0DC），则延长EF同圆D交于G。

5.从G点引x轴垂线并交圆O于A1、A12。A1A0和A0A12都是圆O内接正13边形边长。

注：这是英文维基百科演示的13边形绘制方法。

原理：cos(2*pi/13)是方程x^3-(-1+sqrt(13))/4*x^2-1/4*x-(3-13*sqrt(13))/16=0三个实根最大者，其值为(-1+sqrt(13)+(104-20*sqrt(13)+12*sqrt(-39))^(1/3)+(104-20*sqrt(13)-12*sqrt(-39))^(1/3))/12。进一步转换，12*cos(2*pi/13)=-1+sqrt(13)+2*sqrt(26-2*sqrt(13))*cos(arctan((5*sqrt(3)+2*sqrt(39))/9)/3)。上述作图，利用勾股定理，作出了斜边为2*sqrt(26-2*sqrt(13))的直角三角形，长直角边对应的角的正切值正好是(5*sqrt(3)+2*sqrt(39))/9=(sqrt(39)+sqrt(3))/(6-(-1+sqrt(13)))。三等分这个角是作正13边形的关键。

第三种作法

1.如图作半径为3的圆O，与x轴正半轴交于A0，并从A0引x轴垂线l。

2.l上向上截取A0T=sqrt(65+18*sqrt(13))。再作圆T其半径为2*sqrt(26+6*sqrt(13))，同l交于M、N上下两点。

3.从T点引入一条斜率为-sqrt(25/27)的直线m，同右半圆T交于U。

4.直尺绕着U转，同右半圆T交于R，同l交于S，直到RS=TU，从R引出l的垂线，交l于F。

5.连接OF同圆O交于A3，此时角A0OA3=3*(360/13)°。

原理：tan(6*pi/13)=sqrt(65+18*sqrt(13))+2*sqrt(26+6*sqrt(13))*cos(1/3*arctan(sqrt(27/25)))。

还有其他作法，大家可自由想象，只要不用量角器和各种参数曲线（圆和直线除外）都行。

二．14、18边形

    14边形的作法

1.如下图。作圆O，半径OA0。

2.作OA0的中垂线l，垂直于OA0的半径OD。

3.以A0D为半径作圆A0，直尺绕O点转，交l于K，交圆A0于L，直到KL=OA0。此时OK交圆O于A3。角A0OA3等于(3/14)*360°。

原理：pi/2-pi/14=3*pi/7。

18边形的作法

1.如下图。作圆O，半径OA0，直径A0A9。OA0的中垂线交圆O于A3、A15上下两点。

2.直尺绕A3转动，同上半圆交于A8、同直线OA交于K，直到A8K=OA0。此时角A8OA9=20°，A8A9是圆O内接18边形边长。

原理：arccos(1/2)/3=360°/18。

 还有其他画法。欢迎积极讨论！

三．19边形（挑战性比前面几例大幅提升）

    第一种作法

1.如下图。作圆O，半径OA0=18，反向延长OA0到A使得OA=1。

2.从OA0截取出OB=6，从B引OA0垂线l，l上取一点C使得BC=3*sqrt(3)。

3.三等分角BAC得角BAD，D落在以AC为半径的圆A上，在OA0下方。作圆心角DAH=120度，跨过C点。H、D在直线OA0的投影为I、K。

4.作以2*sqrt(63+6*OK)为半径的圆I，同线段OA0交于N。从线段IN中截取IM=(297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21)。从M引IN的垂线交圆I于P。

5.三等分角NIP，得到角NIQ。从Q点引OA0垂线与圆O交于A1、A18，则A0A1或A0A18都是圆O内接正19边形边长。

原理：cos(2*pi/19)依靠四个一元三次方程得解。设它的形式是：cos(2*pi/19)=(A+(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)+(0.5*(B-C*sqrt(-27)))^(1/3))/6，不能在三次根号前面有w1或w2（为保证最大）。

确定A值是x^3+x^2-6*x-7=0处在中位数的实根x2=(-1+w2*(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+w1*(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))/3=(-1+sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3))/3＜0，而该方程唯一的正实数根x1=(-1+(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))/3=(-1+sqrt(76)*cos(X/3))/3。其中，w1=(-1+sqrt(-3))/2，w2=(-1-sqrt(-3))/2，X=arctan(sqrt(27/49))。故而需要先做长度为1-sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3)=-3*x2的线段。根据上述作图，OI就是这个线段。

而B的值是(152+(4215644+544236*sqrt(-3))^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(-3))^(1/3))/6，依靠计算机程序化简即得到B=33+20*x1+3*x2。我们也作出了长为(-1+(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))的线段，是OK。而(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)的模长平方是M2=2*x1+7。实际操作中画圆I，半径IN是该模长的六倍，即2*sqrt(6*OK+63)。(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)的辐角主值则是Y=arccos(B/(2*M3))/3，其中B/(2*M3)=(16.5+10*x1+1.5*x2)/(2*x1+7)3/2=4.5*(99+20*OK-3*OI)/(6*OK+63)3/2=((297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21))/IN。所以我们还要再给出长度为(297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21)的线段IM。此后通过第二次的三等分角，得到线段IN*cos(arccos(B/(2*M3))/3)，然后减去线段OI的长度就是18*cos(2*pi/19)的值。

实际上cos(2*pi/19)=(-2+w2*(532+228*sqrt(3)*j)^(1/3)+w1*(532-228*sqrt(3)*j)^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))+162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))-162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3))/36=(-1+sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3)+2*sqrt(57+12*sqrt(19)*cos(X/3))*cosY)/18，三次根号里面套着4个三次根号。约等于0.9458172417，可以化简为3段。最后一段2*sqrt(57+12*sqrt(19)*cos(X/3))*cosY是核心部分。

正19边形需要两次三等分角，后一个三等分的角受到前一个的影响。

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