前言

        在上一篇文章中讲到了比例控制存在无法消除稳态误差的问题，将在本篇中予以解决。若未看前一篇文章欢迎回看。

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正文

1、引言

        还是以上一篇文章中的水池系统为例。我们发现不管怎样设置K值，其始终存在稳态误差，误差值为ess=10/(1+K)。现在把控制系统（注水系统）C拿出来，原设计是C(s)=K，也就是不管输入什么s值一律给出常数K，即比例控制。现在我们直接把K退化为C(s)，稳态误差不用重算，替换一下就好，得：

        我们还是希望稳态误差为0，即s→0时C(s)=∞。稍微思考下可以想到，令C(s)=1/s即可，因为1/0=∞。这跟常数K=∞不一样：一个是不管什么s值均返回无穷大，而这个仅在s=0时返回无穷大。数学可以证明函数为1/s的系统实际上就是一个积分器（∫）。用一个通俗的解释就是：s=0对应输入直流常数，而对一个直流常数做积分会得到一个关于时间t的线性函数，随着时间t→∞，积分值自然也趋于无穷。现在令C(s)=K/s，调节K使系统进一步完善，继续使干扰D(s)=0可得系统框图：

2、积分控制

        现在系统的控制逻辑是纯积分了，所以也称为积分控制。现在设计K值以调节积分器的积分力度。计算得Loop Transfer Function为GCH=K/(s(s+1))；特征方程为1+GCH=0→s^2+s+K=0；Close Loop Transfer Function为GC/(1+GCH)=K/(s^2+s+K)。可以发现随着积分器的引入，系统的阶数增加了，从一阶系统变成了二阶系统，因为特征方程为一元二次方程。同样可知特征方程有两个根，即闭环系统有两个极点，需要求出两个极点的位置。虽然现在解一元二次方程也不是什么难事，但以后随着系统阶数增加，特征方程为一元三次甚至更多次时，就很难常规求解了，所以需要利用前一篇的工具——根轨迹。

        根轨迹还是需要从Loop Transfer Function入手。可以知道有两个Loop极点p1=0、p2=-1，没有Loop零点。按照根轨迹的理论，由于没有零点，两个极点随着K从0→∞时会先在实轴上相互靠近汇合，而后两者分开进入复数域，相互远离奔向无穷远。其计算机绘图结果如下：

        通过计算机（手算也行）可以得到两个极点交汇处，K=0.25，极点p1=p2=-0.5。于是可以分出3种情况讨论：

1、0<K<0.25时，两个极点位于实轴，系统输出为exp指数衰减项。其中靠右边的极点由于衰减慢，对整个输出起主要作用，所以它也称之为“主导极点”。

2、K=0.25时，两个极点重合形成双重极点，输出为线性指数函数t*exp项，为最快的无振荡衰减。

3、K>0.25时，两个极点进入复数域，形成共轭复数对。实数部对应exp衰减项，而虚数部对应sin振荡项，系统输出开始振荡，并带来超调Overshoot。随着K的调大，极点对的实数部一直没有改变，而虚数部却一直增加。衰减没加快，而振荡频率以及过冲都会增大。

        图5为K分别为0.15、0.25、0.5的系统输出（颜色Y、B、R）；图6为K分别为5、1、0.5的系统输出。

        从图5、6可以看到：不管设置什么K值，最终水位都能达到10，达成了稳态误差ess=0的目标。这就是积分控制的作用——消除稳态误差（静差）。稳态响应都一样，现在看看动态响应。

        从图5可以看到，K值较小时系统响应非常慢，从0校正到10的时间达到30s之久，但可以优化。到K=0.25时是无振荡的最快衰减速度，大概需要16s完成过渡状态。当K越过0.25后，会发现输出超过10的现象，这个现象称之为超调（过冲）Overshoot，也称为过调节。如果设计要求不允许超调的话，那K最大只能到0.25封顶。如果条件设计允许的话，不妨让K稍稍超过0.25，以少许超调的代价换取较短的上升时间Rise Time。虽然衰减时间没变，但误差大的时间变短了，后面较长的时间输出值距离目标值均较近。

        图6告诉我们不能无脑调大K以减少上升时间，随着K的增大伴随而来是剧烈的过冲，黄色线的峰值都飙到15去了。一般来说过于剧烈的过冲是不能接受的，比如水池系统的水池有高限，装不下这么高的水位造成溢出；现实的电路系统中，过冲很容易导致器件过电压/电流导致烧毁等。这里再次印证了：设计都是各个参数相互妥协的结果。调大K优化了上升时间，但劣化了过冲；想要消灭过冲则要忍受超长的调节时间。

        综合图5和6均发现一个问题，就是积分调节的时间普遍很长，基本都需要10s的时间输出值才比较接近稳定值。而回看上一篇文章的比例调节会发现，虽然有稳态误差，但比较差的设计都能在2s内完成调节。这表明积分调节有一个毛病——降低系统的响应速度，或者说增大了系统的惯性，像大货车那样相比小汽车没那么容易改变状态，刹车距离也比较长。所以还是看你想要无稳态误差呢？还是想要快速调节呢？

3、伯德图

        前文是从根轨迹角度看积分调节的，现在从伯德图角度看积分调节。下面为K分别为0.1、0.25、1、10共4张伯德图：

        首先关于低频增益Gain，因为ω=0 rad/s在对数坐标系中是画不出来的，所以可以认为积分器的极点位于伯德图左边无穷远。由于幅度曲线往左边一直是上升的，所以可以认为到0 rad/s位置时增益已达到了∞dB，也就说明积分器很好的消除了稳态误差。

        同样由于积分器极点在伯德图左边无穷远处，所以相移一开始就有-90°的滞后。而在ω=1 rad/s处的极点再次给予-90°的相移，相移曲线直逼-180°危险线（但没有达到/穿过）。虽然理论上系统不会自激，根轨迹也没跑到右半平面，但现实环境的系统远比数学模型复杂，你永远不知道哪个附加干扰能让相移越过-180°，所以设计系统时必须留有安全裕度，即“幅值裕度”和“相角裕度”。相角裕度PM定义为：幅值曲线穿过0dB轴时对应的相移与-180°线的间距，或者说截止频率处的相移与-180°的差值裕量；幅值裕度GM定义为：相移曲线穿过-180°线时对应的幅值与0dB轴的间距。图7--10均有标注GM和PM。由于相移曲线没有穿过-180°，所以不存在幅值裕度GM。而幅值曲线有穿过0dB轴，所以存在相角裕度。

        当K较小时，积分控制的截止频率ωcross很低，系统带宽小于比例控制的带宽，表明系统响应时间会很长。随着K的增大，截止频率右移，系统带宽增加、响应加快，但同时也降低了相角裕度PM。相角裕度过低会产生振荡和超调，并且会延长调节时间（抵消增大截止频率的效果）。相角裕度越低其情况越严重，当相角裕度降到45°时其对应的超调量已达到20%。在大部分设计中会规定输出允许偏移目标值±20%以内，相当于一个门限。对应到相移曲线，这个门限就在P=-135°（PM=45°）。如果改变超调量限制，相移限制也会相应改变。

        通过观察伯德图可以知道，当PM<76.3°时开始产生过冲，但很轻微可忽略；PM=51.8°时已经有明显过冲，但仍在45°线内，其对应时域曲线（图6蓝色）也没超过12（10+10*20%）；而PM=18°时基本不能接受了。所以从伯德图的角度设计系统时，一般先指定相移裕度PM，通过相移曲线确定截止频率ωcross，而后通过截止频率算出需要的K值。

 

总结

        本文讲解了使用积分控制消除了系统的稳态误差，但也因此带来了过慢的响应速度以及输出超调。在根轨迹分析中表明：刚开始增大K值会加快系统响应速度（极点左移），而后再增大K值再也无法加快响应速度，伴随而来的是振荡超调（极点进入复数域），但可以用适当的超调换取上升时间。在伯德图分析中表明：刚开始增大K值能加快系统响应（截止频率右移，系统带宽增加），但相角裕度的降低限制了其K值不能再继续调大，否则面临严重过冲。

        虽然控制系统设计是一个相互妥协的结果，但也不是意味着无条件地妥协，我们还是希望“我全都要”的。既然怎么调节K值都不能达到无稳态误差+快速响应的效果，那就需要新的控制手段，这些将在下一篇文章中将予以介绍。（完）

by HD-nuke8800

2022/5/2