《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
1.1行列式
二阶行列式的定义
三阶行列式的展开
n级排列
逆序数：按顺序从第一个开始数后面有几个数比他小
N（4213）=3+1=4
N为偶数叫偶排列 N为奇数叫奇排列
N（1，2，3...n）=0标准排列（自然）
对换
1.2n阶行列式
n阶行列式
定义（按行展开）
下三角行列式
上三角行列式逆向思维 同理可得
总结
1.2行列式的性质
性质1：行列式转置值不变
即 行列式性质对行成立对列也成立
性质2：两行互换 值变号
性质3：行列式两行对应相等D=0
性质4：
性质5：由性质3 4可得
行列式两行对应成比例D=0
推论：某一行全为0，D=0
性质6：是和的那一行分开 其余行保持不变
▲性质7：某一行乘以一个数，加到另一行上去 D不变
运算
先处理第一列再处理第二列。。。
第一列处理完后，第一行不再参与运算
1.3行列式按行展开
1,余子式Mij
余（剩余）子（子集）式（行列式）
代数余子式
定理：按某行（某列）展开 降阶！
选零多的行或列展开
D=某行元素*自己的代数余子式的总和
例题
异乘变零定理
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积只和等于零
证明：妙蛙
拉普拉斯定理
k阶子式
拉普拉斯展开定理
取定k行 由k行元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和=D
行列式相乘（同阶！）
不同阶直接算出两个行列式的值然后相乘
1.4行列式的运算（1）
解题思路余子式转为代数余子式反带回行列式构建一个新的行列式 然后进行行列式计算
制造行和
提出第一列的公因子
变为下三角
行列式的计算（二）
加边法 （不能改变原行列式的值）
第一行加全加1第一列全加0 按第一列展开值不变
第一行乘以-1加到后面的所有行
得到3叉型行列式
固定技巧
对角线上的数消去第一列的数
有字母放分母上（字母不为0）
i，j是脚标！
例8
反对称行列式：主对角线全为0 上下位置对应成相反数
对称行列式：
主对角线元素没有要求
上下位置对应相等
奇数阶反对称行列式D=0
1.5克来姆法则
方程的个数等于未知数的个数
1.n个方程n个未知数
2.D不等于0（D为方程的系数行列式）
齐次方程至少有零解
定理：齐次方程方程个数等于未知数个数 D不等于0 只有零解
2.1矩阵的概念
矩阵的定义
行列式与矩阵的区别
只有一行 行矩阵
只有一列 列矩阵
元素都是0 零矩阵 记作0
A的所有元素取相反数 记-A
矩阵行数=列数 n阶方正 记An
单位阵 记E 或者 I
E3
同型矩阵 行数列数相等
同型矩阵对应元素相等 则矩阵A=B
矩阵相等的前提是同型矩阵
2.2矩阵的运算
加减法：对应位置元素相加减 （同型矩阵才能相加减）
数乘运算：数 乘矩阵所有元素
矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次
矩阵的乘法
矩阵相乘前提：第一个矩阵的列数=第二个的行数
结果矩阵的形状：
结果矩阵行数=第一个的行数
结果矩阵列数=第二个的列数
宋氏七字口诀
前提：中间相等
形状：取两头
例3：A*B不等于B*A
AB有意义BA不一定有意义
AB=BA时 A，B是可交换的
A*B A左乘B B右乘A
例5：
1.与零矩阵相乘
2.与单位矩阵相乘
乘法规律：（矩阵相对左右顺序不变）
例6：
矩阵可交换 必须是同阶方阵
例7：变量间线性替换 （好好看，好好想！）
矩阵的幂（A是方阵）
矩阵的转置
性质：1 4很重要
性质4原理
2.3
都是方阵
1: 数量矩阵 aE
2:对角形矩阵
例1（左乘对应行，右乘对应列）
3:三角形
4:
对称
反对称矩阵 主对角线全为0
A转置=-A
逆矩阵
概念理解
矩阵不能放在分母上
1：方阵的行列式
性质和例题
只有方阵才有伴随矩阵
伴随矩阵的定义
按行求 按列放 （代数余子式）
定理：任意方阵有
异乘变零
推论：IAI=0也成立
