Maxwell方程的一般性讨论
本文总结一下Maxwell方程general的推论，没有对材料/介质/稳恒性等给出特殊的假定。以后看到Maxwell方程，不管是哪种特殊情况，下面的理论都是适用的。
下面的内容，要么记住，要么能现推。
【1】一般形式的Maxwell方程和Lorentz力（矢量场表述）。
平时都用微分形式，最直观。积分形式通常用来处理delta函数，比如介质界面上。
四个式子的物理意义都是很明显的：电荷产生电场；没有磁单极子；电磁感应；电流产生磁场。
这五条式子具有普遍意义，并且构成经典电动力学complete的基础（而且还是independent的）。其它关于物质具体结构的（比如本构关系），原则上可以通过量子力学和统计力学导出，一般具有近似性。
麦克斯韦方程组不是精确规律，精确的描述需要借助更能显示背后物理基础的量子电动力学理论，而麦克斯韦方程组只是它的一种经典场论近似。尽管如此，对于大多数日常生活中涉及的案例，通过麦克斯韦方程组计算获得的解答跟精确解答的分歧甚为微小。而对于非经典光、双光子散射、量子光学与许多其它与光子或虚光子相关的现象，麦克斯韦方程组不能给出接近实际情况的解答。
Maxwell方程是一阶线性PDE，所以解的性质比较好，比如唯一性（给定适当的初始条件与边界条件），以及线性叠加性。
用E和B刻画电磁场，称为矢量表述。另外一种等价的表述方式是势场表述，可以认为二者是平行的。我们高中处理静电场问题的时候，就习惯用电场强度或者电势，二者是平行等价的，怎么方便怎么来，并没有谁更根本的说法（在经典电动力学的视角下）。这在【6】中会进一步讨论。
【2】介质中的Maxwell方程。
介质的引入会带来新的电荷和电流（极化和磁化），原先的Maxwell方程仍然适用（多了三项），只不过为了方便（只考察free部分的电荷和电流），会把原先的Maxwell方程做一些归并：
仅此而已。如果偏不用这种归并，就要用原来的Maxwell方程求解，当然也没问题。
【3】电磁场能。
值得注意的是：能量的绝对值大小没有意义，有意义的是变化了多少。所以介质中电磁场能并不是真正的“电磁场的能量”，而是包括了电偶极子和磁偶极子在极化/磁化状态改变的时候吸收/释放出来的能量。归进来之后，就不用再重复考虑极化和磁化的能量了；若不然，就得额外考虑。
形式上，介质中的形式更简单，很容易记，只要记住这个就完事了。
能量这个表达式本身的意义并不在于给出了“电磁场有多少能量”，而在于“能量是如何转化的”。所以要理解这个能量密度表达式，就必须回到这样一个连续性方程：
能量的消失，一部分是因为流出，一部分是转化成了电荷的动能。如果我们思考能量的问题的时候遇到什么含糊不清的事，切记回到这个连续性方程，这才是能量守恒的本源形式。
【4】电磁场的动量（力学性质）。真空中的动量密度和动量流密度为：
电磁场也有动量，这个动量不像粒子的动量那么明显，很容易被忽略。所以电荷之间的相互作用力未必满足牛顿第三定律。牛顿第三定律不是什么金科玉律，它单纯是动量守恒的推论罢了。动量守恒永远是成立的，牛顿第三定律则未必。现在包括了电磁场的动量，牛顿第三定律当然未必成立。电磁学中会出现很多佯谬性质的东西，这就是很经典的一个：运动电荷之间的作用力与反作用力并不是等大反向的。这些佯谬在电动力学之前都只能含混过去，禁不住细想。这么说来高中教电磁学其实不是很稳，指不定就落入佯谬里面，只能按格式做做题。
动量密度和能流密度是成比例的。所以很好记，用量纲推导一下比例就行了。
和能量一样，这个式子必须通过连续性方程才能理解：
即：少掉的动量，一部分是流走了，另一部分是通过洛伦兹力传递给了电荷（力就是动量转移的速率）。
我们把这个式子写成积分形式。考察一个区域，它包括了电荷和电磁场：
这是什么意思？一个区域内总的动量有变化，这个变化一定是对外有作用力实现的动量交换。这个作用力由T刻画。这说明-T的物理意义是电磁场的应力，所以-T也叫做Maxwell应力张量。
4.光的动量不需要量子力学，在经典理论中就存在。
为了更加严格地分析电磁场中的应力（把电磁场想像成一块固体），我们需要知道应力到底是什么。
【4.5】应力。这是连续介质力学的内容。
应力由一个对称的二阶张量\sigma刻画。
假设固体中有一个面积元dA，被这个面积元分开的两个部分有互相的作用力。“外侧”对“内侧”的作用力为：
（所以我们看到-T才是应力张量）
应力张量可以分解为压强和剪应力：
\tau是无迹部分。所以压强p=1/3*Tr \sigma。
根据上面的讨论，-T就是电磁场的应力张量。电磁场本身是实打实的物质，可以想象成一块固体，固体内部当然有应力，那么电磁场也有应力。同时看到，电磁场的压强为p=u/3。
这是我们之前没有的物理图像。
【5】电荷守恒。
电荷守恒是Maxwell方程的推论，而不是一条独立的定律。推导很简单：
【6】电磁势（势场表述）。
前面说了，电磁场有场能表述，也有平行并且等价的势场表述。之前的静电势和磁矢势是特例。
还是从静电势和磁矢势的两个Maxwell方程来构建：
这样电磁场的刻画就被简化为四个变量(A,\phi)。在数学上更加简单。
势场需要规定“零点”。常用的两种规范是：
需要注意：是Lorenz gauge而不是Lorentz gauge。亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz），荷兰物理学家（1853-1928），就是洛伦兹变换、洛伦兹力的那个。路德维希·洛伦茨（Ludvig Lorenz），丹麦物理学家（1829-1891），洛伦茨规范。
我们一般用的都是后一种规范（它的好处在于Lorentz不变）。在Lorenz规范下，剩下的两个Maxwell方程变成波动方程：
方块是d'Alembert算子。形式非常简单，就是Poisson方程加上时间项而已。
对于静电场，波动方程退化成Poisson方程，解就是Coulumb定律。
对于静磁场，波动方程退化成Poisson方程，解就是Biot-Savart定律。
这样所有理论都串起来了；也不会再觉得Biot-Savart定律形式奇怪了（就是Poisson方程解的形式）。
综上，电磁场的势场描述就是：两个波动方程+Lorenz规范。形式上比Maxwell方程要简单，当然掩盖了一些在Maxwell方程中明显的物理意义。
平时脑子里想一个电磁场，就可以从矢量图像+Maxwell方程去思考，也可以用势场图像+波动方程去思考。
对于前者，物理图像是：电荷产生电场，电流产生磁场，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。对于后者，物理图像只留下前两个，后两个并没有明显地显露出来。
最后，把本文的理论全部自己手推一遍。
