实变函数漫谈(5)集类上的集函数

  对于一个开\闭区间，我们直接定义其长度为,如果是一个更一般的集合该如何定义其长度的概念是测度论需要解决的核心问题。

  我们说集类就是对于某个集合,考虑它的那些具有某些性质的子集构成的集合，说一个集类上的集函数是测度是指满足测度的几条非常显然的公理：空集的测度为零，任何集合测度非负，不相交的集合的并集的测度必须是测度的相加。直线上最重要的测度就是测度，它把直线看做质量均匀分布的，如果直线的密度是变化的就是测度。建立勒贝格测度是在一个小的集类上定义测度，然后延拓到更大集类上。比如复旦大学的教材是这样的，考虑所有的左开右闭区间，由有限个左开右闭区间的并集构成的集合记作,而也可以分解为有限个两两不交的左开右闭区间的并集，从而用这种构成区间的测度求和来定义上的测度。