就那条 发视频的 提到的 一定理 更一般的形式 之证明
即
S=
√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos²θ）
(其中θ为四边形对角和的一半）
之证明
b²+c²-2bccosα
=a²+d²-2adcosβ
即
bccosα-adcosβ
=(b²+c²-(a²+d²)）/2
即
(bcsinα+adsinβ）²
=
b²c²+a²d²+2abcd(sinαsinβ-cosαcosβ)
-(b²+c²-(a²+d²)）²/4
即
16S²
=16(1/2bcsinα+1/2adsinβ）²
=4(bcsinα+adsinβ）²
=4b²c²+4a²d²-8abcdcos(α+β）
-(b²+c²-(a²+d²)）²
=
2a²c²+2b²c²-c^4
+2c²d²
+2a²d²+2b²d²-d^4
-a^4
+2a²b²
-b^4
+8abcd
-16abcdcos²((α+β）/2）
=
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)
(a+b-c+d)(a+b+c-d)
-16abcdcos²θ
即
S=
√((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos²θ）
得证
ps.
由该形式
亦可作
简单判断
当
θ为π/2
即对角互补
时
S得最大值
视频中
提到的定理
之证明
详见
有关那条
是那什么
还想立牌坊的
“秒杀大招”
发视频的
无耻行径
详见
