教与学的理念

数学分析等数理课程成效 在于 理解与掌握难以理解与掌握的思想与方法。就此，一方面需要 认识的螺旋式上升（对应递进性教与学），另一方面需要 认知上抓住事物的主要矛盾。

本课程引入 辨证唯物主义的观点与方法，引领整个教与学的过程。 

• 教与学计划按周为单元，每一周都要学习新的知识，就此需要在当周 理解与掌握相关知识 —— 从不明白到明白、从不懂到懂 就是 量变到质变的过程。

• 从量变与质变 就是 进步的过程，但这并不是自然而然地发生，就此需要 看清事物的本质 —— 数学分析对于同一个概念与结论就可以有多种表述形式，处理上一般也没有完全一致的要求（多种处理可以都是正确的，都说明了同一个性质），就此 需要 认识到事物的本质。认识事物的本质 或者 透过现象看本质，需要锻炼 抓住事物主要矛盾的能力，这种能力的培养对于学习具有基础性的作用。

• 本课程的教与学注重 内容方法化、做法思想化、学习通识化，这也是对微积分知识体系的一种认知方式。认识无止境，教师的阐述反映了教师现有的认识与体会，同学们学习之后要有自己的思考，逐渐锻炼自己的辨析能力，取长补短就能事半功倍。

本课程拥有 国家一流本科课程（线下课程）荣誉，我们的课程始终追求 课程的一流化水平：课程内容的广度与深度 可以类比国内外代表性教程与参考的程度，并且 具有理想的教与学的成效，力求每一位同学都能够学得好。

教与学的方式

按一般的认知规律（认识的螺旋式上升），本课程执行 递进性教与学。

2023年春季学期，两个班级都安排在 周一晚上 18:30-21:30，利用 复旦腾讯会议，基于 电子板书 进行 基本内容 的学习。此环节教师会强调 要点与难点，并且师生之间可以有讨论。

 

2023年春季学期，我开设有 两个班级（按见面课的时间进行区分），见面课的主要形式，概述如下：

• A班（周一下午1-2节、周三上午3-5节 见面课） 周一上午会结合 当天晚上需要在线学习的基本内容进行概述，大致说明需要掌握哪些思想与方法；周三上午，细节性澄清相关思想与方法，包括 解析相关事例。

• B班（周五下午1-5节 见面课）第一部分 教师澄清 相关思想与方法；第二部分 师生研习 相关事例，可以接龙式地演练习题，实时可以进行注释与讨论；第三部分 与助教、教师的的单独交流。注：由于周五下午研习时间长， 课程免费提供咖啡、茶叶，杯子请自带。

注：见面课人比较多的情况，会基于 复旦腾讯会议 基于摄像机信号进行直播，这样坐在后面的同学可以同时观看视频。

计划 每周二下午 安排 辅导与研讨，主要有两种形式：

• 在教师的办公室进行，主要研习习题，师生之间可以充分交流。一个下午可以安排二场：13:00-15:00；15:30-17:30，每场可以接待20位同学，届时可报名参加。主要内容，会通过腾讯会议进行直播，没有现场参加的同学可以观看回放视频。

• 课程系列讲座 主要研习著名教程的习题与事例等，在教室进行并且随堂拍摄视频，剪辑后在B站发布。

平时练习  本次课程将采用 书面习题册 的形式，为每位修读的同学提供书面的《一元微积分-习题册》，A3纸活页装订。每周助教与任课教师都会批阅 习题册，并作记录。一般而言，一份作业文件的基础性习题，在两周内完成。

考核方式 本课程采用 过程性评估，进行：（1） 一元微分学、一元积分学、一元微积分综合性 三次 阶段性考试（取二次最好的成绩，平均后折合成总评的 50%）；一般在周日晚上进行。（2）每次阶段性考试的前一周，进行对应的 测验，测验不计分，参加 2 次，就得到总分的 5%，未参加 2 次则不得分；一般在周日晚上进行。（3）作业文件，基本完成，得到总分的 5%；未基本完成 不得分。（4）期末考试，占总分的 40%。

在线资源

教与学的计划（周计划）

本课程按 知识体系的建立过程 安排 教与学进度，以周为单元；当可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。

以下所列视频，按其内容属性分别归属于：基本内容、方法化、应用事例；相关频道 标识上述三种视频的内容属性。

第一部分 一元微分学

§ 01 第 01 周

§ 01-第一层面 基于在线资源的自学

（1）微积分研究的主要对象、基本研究思想及方法 ① 函数（映照）的基本概念，映照为微积分研究的主要对象。② 微积分知识体系的层次，本一年制课程将主要包括一维Euclid空间上的微积分，有限维Euclid空间上的微积分以及级数。③ 建议学习方法：（a）坚持“正本清源”，要求澄清各个知识点的来龙去脉以及整个知识体系间的融会贯通。（b）坚持“温故而知新”，基于微积分知识体系辐射型发展的特点，努力以已有的知识发展新的知识。（c）坚持“将学问升华为能力”，微积分知识体系可谓我们认识自然及非自然世界系统的思想及方法之核心，在对知识体系融会贯通的基础上追求触类旁通。这将有二方面的作用，其一具有自我学习（吸取）更深入知识体系的能力，反映为具有好的学问；其二将知识体系融合精神，使其真正成为我们认识自然及非自然世界的能力。

（2）数列极限概念与分析性质 概念引入或提取可基于阿基米德曲边梯形之面积计算过程。① 引入数列极限的概念，亦即对“逼近行为”给予严格的刻画方式。② 数列极限的分析性质。

（3）数列极限的计算方法（部分） 目前提供部分处理方法要素，主要包括：（a）基本运算：四则运算、夹逼性；（b）引入无穷小量；（c）说明无穷小量的两个充分性方法；（d）Stolz定理；（e）分部估计；（f）Abel等式及其估计

§ 01-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）映照的意义与形式

（2）数列极限的概念与基本分析性质

（3）数列极限的计算方法（部分）

§ 01-教学视频

数列极限的计算方法-部分

§ 01-课程讲稿

§ 01-习题文件

§ 01-知识图示化

§ 02 第 02 周

§ 02-第一层面 基于在线资源的自学

（1） 数列的分析性质  ① 上、下确界基本概念，分别作为最小的上界和最大的下界。 ② 确界存在性定理。③ 实数系相关定理：确界存在性定理 → 单调有界必收敛 → 闭区间套定理 → 有界数列必有收敛子列（Bolzeno-Weierstrass定理） → 数列的Cauchy收敛原理；数列的Cauchy收敛原理 → 闭区间套定理  → 确界存在性定理。 ④ 点列收敛的Cauchy原理的一则应用，一维Euclid空间上的Banach压缩映照定理（不动点原理）及其应用。相关事例体现“高等数学”的意味。注：限于实际的学时，教学具体对象及目标等，暂不考虑实数构造理论的细节，故承认确界存在性定理，且籍此开展所有的分析。

（2）基于单调有界必收敛的典型事例  ① Napier数。② Euler数。

（3）数列的上下极限  ① 对有界数列而言，上、下极限的定义。② 上、下极限的分析性质；考虑所有收敛子列的极限值的集合，上、下确界分别为最大值与最小值。③ 上、下极限的运算性质，包括加法、乘法、负数、倒数，以及平方与开根号运算。

§ 02-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1） 数列的分析性质

（2）数列的上下极限  ① 基本内容。② 相关应用，对于有界数列可以通过计算其上、下极限确定数列是否收敛并获得极限值。实际处理中，首先确定数列的有界性；其次检查单调性，如有单调性则利用单调有界必收敛，如果单调性不明确则计算上、下极限。

§ 02-教学视频

方法化：数列的上下极限分析方法-2022-2023学年第一学期

结构-确界

确界的相关性质

上下极限基本性质

上下极限运算性质

§ 02-课程讲稿

§ 02-习题文件

§ 02-知识图示化

§ 03 第 03 周

§ 03-第一层面 基于在线资源的自学

（1） 函数极限的定义  ① 函数（映照）的概念  ② 将函数极限理解为函数的某种局部行为，给出Cauchy叙述（集聚刻画）及Heine叙述（序列刻画）；通过引入广义邻域，给出数列极限的统一叙述（包括当自变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形，因变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形）；需要掌握相关局部行为的图示表达。③ 函数极限的Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性；函数极限的Cauchy收敛原理（振幅刻画）。④ 函数的连续性作为函数极限特殊情形处理。⑤ 复合函数极限定理。

（2）基本初等函数的连续性  ① 三角函数的连续性，可基于集聚刻画获得。② 指数函数的连续性，可基于数列刻画由相关数列极限的结果获得。③ 对数函数的连续性，可基于数列刻画由相关数列极限的结果获得。 ④ 幂函数的连续性，基于指数函数与对数函数的复合。⑤ 反函数的连续性，基于反函数的存在性定理：闭区间上的单调函数，如其值域为闭区间，则此单调函数在闭区间上连续；闭区间上的单调函数，如其在闭区间上连续，则其值域为闭区间。

（3）基本初等函数的低阶多项式逼近  ① 基于典型的函数极限，获得正弦函数的一阶线性逼近，从而获得余弦函数的二阶多项式逼近。② 基于典型的函数极限，结合对数函数的连续性，获得对数函数的线性逼近。③ 基于对数函数的线性逼近，结合复合函数极限定理，获得指数函数的线性逼近。④ 基于对数函数与指数函数的线性逼近，获得幂函数的线性逼近。⑤ Landau符号（带小o的符号），表现为对具有某类性质的函数的一种表现形式。Landau符号的运算性质切实反映了“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的观点。

§ 03-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）函数极限的等价性定义 ① 集聚刻画、序列刻画、振幅刻画。② 三者刻画的等价性

（2）函数极限的计算方法（部分） ① 基本初等函数的连续性。② 基本初等函数的低阶多项式逼近，基于两个典型的函数极限与基本初等函数的连续性获得。③ Landau符号及其运算性质。

§ 03-教学视频

基本内容：函数极限的计算方法（部分）

极限的意义与性质

四则与复合运算

基于展开

基于分析

§ 03-课程讲稿

§ 03-习题文件

§ 03-知识图示化

§ 04-第一层面 基于在线资源的自学

（1）函数的导数  ① 一元函数的导数定义为因变量相对于自变量的变化率，理解为一类特殊的函数极限。② 函数可微性的概念，通过Landau符号说明导数的几何意义（引入函数切线）。③ 基于Landau符号的分析，获得基本初等函数的导数。④ 基于Landau符号的分析，获得导数的基本运算性质：（a）四则运算；（b）复合函数的可导性定理。值得指出，微积分中的复杂函数源于基本初等函数的四则运算与复合运算，籍此获得基本初等函数的导数以及四则运算与复合运算的一般性导数计算方法，就可建立复杂函数的导数计算方法，但这些方法都是充分性方法。⑥ 高阶导数：定义为第一阶导函数的导数；为计算某点的p导数，需要p-1阶导数在该点的某个领域有定义。

§ 04-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）函数导数的计算方法  ① 充分性计算方法，包括：（a）四则运算；（b）复合函数的可导性定理/链式求导；（c）反函数的可导性定理。② 函数极限分析方法，主要研究分段定义的函数在分段点的导数。

§ 04-教学视频

方法化：函数导数的计算方法-2022-2023学年第一学期

导数的意义

一般方法

反函数的导数

§ 04-课程讲稿

§ 04-习题文件

§ 04-知识图示化

待补充

§ 05 第 05 周

§ 05-第一层面 基于在线资源的自学

（1）无限小增量公式的基本理论  无限小增量公式为研究函数局部行为的主要方法。 ① 无限小增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式。② 基于无限小增量公式研究函数局部行为的基本方法。其知识要素包括：（a）若干基本初等函数的无限小增量公式，可通过公式直接获得；（b）复合函数极限定理；（c）“逐项可求”以及“逐项求积”二个技术性引理；（d）Landau符号的运算（反映抓住主要矛盾，忽略次要矛盾）。

（2）无限小增量公式的应用 主要包括以下两个方面：① 获得复杂函数的多项式逼近，籍此亦成为处理复杂函数极限的重要方法。② 力学或物理学等学科中往往采用“微元分析法”获得对所研究事务的控制方程（现为常微分方程，亦即可含有函数本身及其导函数的等式），其分析过程可分为三步骤：（a）基于力学或物理学规律对“微元”建立模型；所建立的模型往往含有“小量”（常包含在函数的自变量中）。（b）对模型中的“小量”按无限小增量公式展开，然后在等式两边令“小量”趋于零的极限以获得常微分方程。（c）对所获得的常微分方程的分析。应用事例可选取“牧童牵牛”机理，悬链线方程推导等。

（3）Bernoulli-L’Hospital法则 先引入Cauchy中值定理（分析置后），然后进行分析。

§ 05-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）无限小分析方法 指获得复杂函数的高阶多项式逼近，带有Landau的符号，故隶属极限行为。方法要素，主部包括：① 无限小增量公式，基于Cauchy中值定理；② 基于高阶多项式逼近，获得逐项求导、逐项求积二个技术性引理；③ 基本初等函数的展开，直接基于无限小增量公式；④ Landau符号的运算性质，主要表现于相关函数展开式在四则运算、复合运算中误差/次要部分的归类/简化作用。

（2）函数极限的计算方法（部分） ① 无限小分析方法；② Bernoulli-L’Hospital法则

（3）最值方法 程序性处理流程为：① 函数定义域内部求临界点； ② 判断临界点的类别，基于无限小增量公式；③ 综合极值点、边界点的函数取值，获得最值点与最值。

§ 05-教学视频

方法化：无限小分析方法-2022-2023学年第一学期

高阶导数的意义

无限小增量公式

间接性方法

基本初等函数的展开

方法化：Bernoulli-L'Hospital法则-2018-2019学年第一学期

§ 05-习题文件

§ 05-知识图示化

§ 06 第06周

§ 06-第一层面 基于在线资源的自学

（1）有界闭区间上连续函数的基本性质（内部无可导性）

（2）有界闭区间上连续函数的基本性质（内部有可导性） 基于通识性结构：Fermat引理（如果函数在极值点可导，则导数为零），可以获得：Rolle定理（闭区间内部有最值，则该点处导数为零） →平面曲线的等斜率定理/Cauchy中值定理，Lagrange中值定理作为特殊情形。此处，引入反函数及其导数的相关结论。

（3）基于微分中值定理的分析方法

§ 06-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）有界闭区间上连续函数的基本性质（内部无可导性）

（2）有界闭区间上连续函数的基本性质（内部有可导性）

（3）基于微分中值定理的分析方法

§ 06-教学视频

基本内容：闭区间上连续函数的性质-2022-2023学年第一学期

内部无可导性

内部有可导性

微分中值定理

无限小与有限增量

推广的结论

§ 06-习题文件

§ 06-知识图示化

§ 07 第07周

§ 07-第一层面 基于在线资源的自学

1.  函数一致连续性的判断方法

§ 07-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

1.  函数一致连续性的判断方法

§ 07-教学视频

方法化：一致连续性的分析方法-2021-2022学年第一学期

§ 07-习题文件

§ 07-知识图示化

待上传

§ 08 第08周

§ 08-第一层面 基于在线资源的自学

（1）有限增量公式的基本理论 有限增量公式为研究函数全局行为的主要方法。① 有限增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式，此时余项为Lagrange型。② 有限增量公式的一般形式：（a）Schlomilch－Routh型，其特殊情况包括Lagrange型以及Cauchy型余项；（b）积分型余项。

（2）函数及其导数界的估计方法 主要的方法要素有：（a）选取特殊点对建立有限增量公式，以此获得函数或其某阶导函数的关系式；（b）一般可基于最值问题的处理方法获得上述关系式的界。

§ 08-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）有限增量公式的获得

（2）有限增量公式的应用 主要包括：近似公式的获得及其误差估计。

（3）函数及其导数界的估计方法

（4）获得数型与函数型不等式的方法 ① 数型不等式；② 函数型不等式

§ 08-教学视频

基本内容：有限增量公式-2021-2022学年第一学期

§ 08-习题文件

已在相关 习题文件中包含

§ 08-知识图示化

已在相关 知识图示化中包含

§ 09 第09周

§ 09-第一层面 基于在线资源的自学

（1）函数的凹凸性

（2）获得数型与函数型不等式的方法 主要包括以下二方面：（1）数型不等式。（a）基于函数的单调性；（b）基于函数的凹凸性，一般地有Jensen不等式，作为应用可得调和平均、几何平均和算术平均间的关系；基于对数函数的凹凸性获得Young不等式，籍此获得Holder不定式 → Minkowskii不等式。（2）函数型不等式。原则上函数型不等式可按最值问题的观点进行分析，表现为偏差函数不变号，实际可以由单调性估计偏差函数。

（3）平面曲线定性作图的方法 主要包括二方面：（1）Monge型曲线的定性作图，方法要素有：（a）垂直与斜渐近线。基于最值问题获得点到直线的距离公式，基于距离公式的极限引入斜渐近线的极限表示；基于上述极限的性质获得渐近线的确定方法（斜率与截距）；另涉及“垂直着陆”的表述；（b）单调性同一阶导数（符号）之间的关系；（c）凹凸性同二阶导数（符号）之间的关系。此处，需给出单调性以及凹凸性的定义。（2）参数形式曲线的定性作图，原则上首先作出两个分量关于参数的函数图像，然后进行综合。相关参数区间上的单调性、凹凸性（均基于曲线的局部Monge型表示），需要涉及参数形式函数的一阶、二阶导数。

§ 09-第二层面 限定时间的内容讲述与讨论

（1）函数的凹凸性

（2）获得数型与函数型不等式的方法

（3）平面曲线定性作图的方法  ① Monge型曲线的定性作图；② 参数形式曲线的定性作图

§ 09-教学视频目录

基本内容：函数几何性质-2021-2022学年第一学期

基本内容：一元函数微分学的全局行为-2021-2022学年第一学期

基本内容：一元微分学的结构-2021-2022学年第一学期

§ 09-习题文件

§ 09-知识图示化

待补充