2015年上海市高考数学（理科）试卷讲评视频中第23题的补充和更正

非常感谢一位朋友（无知者无欲）在视频下方的指出！

根据题目本身的条件以及最简三角方程的知识，由cosf(x+T)=cosf(x)确实除了得到f(x+T)=f(x)+2kπ即f(x+T)-f(x)=2kπ之外，还有可能是f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ。
我的解题过程在（1）与（2）以及（3）证明充要条件的时候都没有用到这个结论，只在最后证明f(x+T)=f(x)+f(T)的时候用到了这个结论，所以仅就这一点加以补充和更正。
这里可以做一些如下的修正：
首先（3）能找到xi使得f(xi)=iπ以及在xi处f(x+T)=f(x)+f(T)成立是根据（2）的结论，所以仍然是成立的。现考虑x在(0,x1)，根据f(x)单调递增且f(x1)=π，所以f(x)应该是(0,π);

此时T<x+T<x1+T，而在xi处f(x1+T)=f(x1)+f(T)=5π所以可知此时f(x+T)是(4π,5π)。

根据cosf(x+T)=cosf(x)，可知f(x+T)=f(x)+2kπ或者f(x+T)=-f(x)+2kπ。
①如果是f(x+T)=f(x)+2kπ即f(x+T)-f(x)=2kπ，由f(x)在(0,π)以及f(x+T)在(4π,5π)，所以f(x+T)-f(x)在(3π,5π)，其中符合f(x+T)-f(x)=2kπ的只有4π，所以f(x+T)=f(x)+f(T)这个结论对于x在(0,x1)都成立，同理其余区间也成立。
②如果是f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ，由f(x)在(0,π)以及f(x+T)在(4π,5π)，
所以f(x+T)=f(x)在(4π,6π)，可知其中没有符合f(x+T)+f(x)=2kπ的点（我原来写的闭区间有问题，这里务必要修改为开区间），所以就不可能是这种情况，要舍去。

综上可知，f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ这一情况在理论上确实是存在的，但是在实际求解中因为在开区间内无解而被舍掉了，只要把原来的两处写错的闭区间改为开区间即可。

最后再次感谢这位朋友的指出使得解答过程更加严谨！