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group theory 4 sub group

2023-08-08 12:04 作者:wuaudio  | 我要投稿

G有一个子集A继承了G的运算并且成为一个群,就叫做子群A%3CG

在有限群的框架下可以讨论一些AG的关系。A作为一个子群,如果你取a%5Cin%20A,再考虑集合aA%3D%5Clbrace%20ag%3Ag%5Cin%20A%5Crbrace,你会发现aA%3DA。而如果你取b%5Cin%20G-A,就会发现bA%5Ccap%20A%3D%5Cvarnothing,反证法:ba%3Da%5E%5Cprime%5CRightarrow%20b%3Da%5E%5Cprime%20a%5E%7B-1%7D%5Cin%20A。再看cAbA有没有关系,作如下推导bA%5Ccap%20cA%5Cneq%20%5Cvarnothing%5CRightarrow%20ba%3Dca%5E%5Cprime%5CRightarrow%20b%5Cin%20cA%5CRightarrow%20bA%5Csubset%20cA%5CRightarrow%20%20bA%3DcA ,因此这些左陪集全都是不相交的。而且每个集合的元素个数都是%7CA%7C。这说明%7CA%7C%5Cmid%20%7CG%7C

但是注意到左右陪集是不一样的bA%5Cneq%20Ab,或者说bAb%5E%7B-1%7D%5Cneq%20A,这便是正规子群的定义

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