数学竞赛试卷，难度十分友好

注意：

本试卷为自命题试卷，请不要在平台上搜索考试答案或者在答题中使用任何软件。本卷共有5道题，答题时间6小时。开考前你们有10分钟的时间浏览试卷。本试卷不设相应答题卡，答案请写在桌上的A4纸上，A4纸一人五张。

1.（代数基础分析）已知函数y=ln(x+a^x)。

（1）若函数与x轴相切，a=_______。

（2）函数在(0，0)处的切线为kx-y=0，请用a表示k。

命题：MOKE、二神

审核：一信

2.（初等平面几何）在平面内有正三角形ABC，D是BC上一点，E是ABD的外心，F是ACD的外心连接ED、FD、EF。 请回答以下三个问题。

（1）请证明：DEF是正三角形。

（2）BF、CE交于G，求证G是ABC的中心。

（3）延长BE、CF交于H，求证GH=GC。

（4）做a过E垂直于AF；b过F垂直于BE；a与b相交于K。求证：K在AB上。

命题：咲东、MOKE

审核：一信、二神

3.（代数综合分析）已知函数y=x/lnx。

（1）求证：这个函数只有一个极点。

（2）在什么定义域内该函数单调递增？

（3）该函数是否有渐近线？

命题：二神、咲东

审核：MOKE

4.（新场景应用）在3*4的网格内有一颗黑子与两颗白子，按照如下方式移动：黑子开始时处在左上角的格子中，每次移动2格（可以横向竖向各移动1格，禁止斜向移动）。一个白子处在黑子右下角的一格，两个白子相距2格，每个白子每次移动一格。黑先白后。当两个白子都挨在黑子旁边时黑子就输了。请问黑方是否有不输的办法？如果没有，请问白方至多在多少次之后胜利？请给出证明过程。

命题：MOKE、一信

审核：咲东

5.（平面解析几何）平面直角坐标系xOy内做一个圆，这个圆的半径为2，圆心为坐标原点O。A（1，0），B（0，1）。C点是这个圆上的一个动点。

（1）请求出角ACB的大小。

（2）延长BC交x轴于D点，延长AC交y轴于E点。求AD*BE的值。

命题：二神

审核：MOKE、咲东

（3）分别做BC、AC的中垂线p、q交于K。求证：K在定直线x-y=0上。

（4）分别过A、B做BD、AE的垂线m、n，分别交BD、AE于X、Y。求证：XE、YD、AG三线共点。

命题：咲东

审核：一信、二神

鸣谢名单

总策划：一信

总负责人：咲东

设备：MOKE、二神

题目顺序校验：二神

题目内容校验：MOKE（101、201～203、301～303、501、503）、咲东（102、204、401、502、504）

6.22初次拟定

6.25定稿

6.29最终审核