背包问题
这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。以下是使用 Java 编写的示例代码：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt(); // 物品数量
int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
int[] volumes = new int[N + 1];
int[] values = new int[N + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
volumes[i] = scanner.nextInt();
values[i] = scanner.nextInt();
}
int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= volumes[i]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - volumes[i]] + values[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[N][V]);
}
}
```
在这个示例中，我们使用二维数组 `dp[i][j]` 来表示考虑前 i 件物品，在背包容量为 j 的情况下的最大价值。我们使用动态规划的思想填充这个数组，从而求解最大价值。最终结果位于 `dp[N][V]`。
请将以上代码保存为一个文件（例如：Main.java），然后在命令行中使用 Java 编译器编译它，然后运行生成的编译文件即可得到输出结果。
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这是一个背包问题的变种，每种物品可以选择无限次放入背包。您仍然可以使用动态规划来解决。以下是使用 Java 编写的示例代码：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt(); // 物品种数
int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
int[] volumes = new int[N + 1];
int[] values = new int[N + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
volumes[i] = scanner.nextInt();
values[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[V + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = volumes[i]; j <= V; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - volumes[i]] + values[i]);
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
```
在这个示例中，我们只使用一维数组 `dp[j]` 来表示背包容量为 j 时的最大价值。我们使用动态规划的思想填充这个数组，从而求解最大价值。最终结果位于 `dp[V]`。
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这是一个多重背包问题，可以使用单调队列优化的方法来解决。以下是使用 Java 编写的示例代码：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt(); // 物品种数
int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
int[] volumes = new int[N + 1];
int[] values = new int[N + 1];
int[] quantities = new int[N + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
volumes[i] = scanner.nextInt();
values[i] = scanner.nextInt();
quantities[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[V + 1];
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j < volumes[i]; j++) {
int[] queue = new int[quantities[i] + 1];
int head = 1, tail = 0;
for (int k = 0; k * volumes[i] + j <= V; k++) {
int val = dp[k * volumes[i] + j] - k * values[i];
while (head <= tail && queue[tail] <= val) {
tail--;
}
tail++;
queue[tail] = val;
dp[k * volumes[i] + j] = queue[head] + k * values[i];
if (head <= tail && k - quantities[i] >= 0 && queue[head] == dp[(k - quantities[i]) * volumes[i] + j]) {
head++;
}
}
}
}
System.out.println(dp[V]);
}
}
```
在这个示例中，我们使用了单调队列来优化多重背包问题的解决。通过在每种物品的循环中，利用单调队列维护一个滑动窗口，可以将问题转化为 01 背包问题。最终结果位于 `dp[V]`。
请将以上代码保存为一个文件（例如：Main.java），然后在命令行中使用 Java 编译器编译它，然后运行生成的编译文件即可得到输出结果。
