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2023-03-19 00:29 作者:咪央鹤儿 0人读过 | 我要投稿

$§$ 张, 线性无关

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$§$ 张, 线性无关
张
线性无关

张

def.向量组(a list of vectors)

将 $V$ 中的几个向量(有限或无限)写在一起, 用逗号隔开, 形如 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ , 其中每个向量属于 $V$ , 称为一个向量组

一个向量组中向量的个数称为这个向量组的长度

def.线性组合(linear combination)

对于 $F$ 上的线性空间 $V$ 和 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ , 称以下的的形式
$a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots + a^{n} v^{n}$
为向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 的线性组合, 其中 $a^{i} \in V, \forall i$ .
空向量组张成的空间我们人为定义为 ${0}$ .

现在我们可以重新考虑子空间的定义, 我们可以重新定义其为对线性组合封闭的非空集合与原空间上的运算.

def.一个向量组张成的空间(span)

定义向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 张成的空间为这个向量组所有的线性组合, 即
$s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n}) := {v^{1}, v^{2} \dots v^{n} 的所有线性组合} = {a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots + a^{n} v^{n} : a^{i} \in F, \forall i}$

验证这个定义是良定义的, 即验证一个向量组的所有线性组合 $U$ 构成一个线性空间.

封闭性: 对于 $u^{1}, u^{2} \in U$ , 记 $u^{i} = 1 \leq j \leq n \sum a^{ij} v^{j} \in U, i = 1, 2$ . 验证 $λ^{1} u^{1} + λ^{2} u^{2} \in U$ 即可.
显然, $λ^{1} u^{1} + λ^{2} u^{2} = λ^{1} \sum a^{1 j} v^{j} + λ^{2} \sum a^{2 j} v^{j} = \sum (λ^{1} a^{1 j} + λ^{2} a^{2 j}) v^{j} \in U$
零元: 由于这个集合显然非空, 零元存在这一点自动成立.

cor.

一个向量组张成的空间是被属于这个向量组的最小子空间, 即任何包括这个向量组的任何线性空间都包含这个向量组张成的空间.

proof
这个事实是显然的. 因为由子空间对线性组合的封闭性, 任何被属于这个向量组的线性空间都被属于这个向量组的任何线性组合, 也就包含这个向量组张成的线性空间. $□$

def.张(spans)

若 $s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n}) = V$ , 我们称 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 张成(spans) $V$ .
这里用单三, 因为向量组被我们看作一个单独的对象.

ex.

$s p an (e^{1}, e^{2} \dots e^{n}) = F^{n}$ , 其中
$e^{i} = (0, 0 \dots, 1, \dots 0) ↑ i th$

proof
$F^{n} = {(x^{1}, x^{2} \dots x^{n}) : x^{i} \in F, \forall1 \leq i \leq n}$ , 对于其中的每个向量 $v$ , 有
$v = (x^{1}, x^{2} \dots, x^{n}) = i \sum x^{i} e^{i}$
故 $F^{n} \subseteq s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ , 相反方向的属于也成立因为 $e^{i}$ 是 $F$ 中的向量, 故其张成的空间是 $F^{n}$ 的子空间, 故这两个空间相同. $□$

def.有限维线性空间(finite-dimentional vector space)

称 $V$ 是一个有限维线性空间, 若存在有限长的向量组能张成 $V$

上面那个例子中, 我们发现 $F^{n}$ 是有限维线性空间, 因为 $(e^{1}, e^{2} \dots c^{n})$ 的长度是 $n$ , 是有限的.

对于以后提到的线性空间, 如果没有特殊说明, 我们总假设它是有限维的.

def.数域上的多项式(polynomial)

对于数域 $F$ , 称如下的形式为一个 $z$ 的 $F$ 系数多项式
$p (z) = a^{0} + a^{1} z + \dots + a^{n} z^{n}$
其中 $a^{i} \in F$ , $\forall i$ , $z$ 是一个符号(可以替换为很多对象, 不知是数)
特殊地, 对于 $z \in F$ , 我们将 $p : F \to F$ 组成的线性空间称作 $F$ 上的多项式组成的空间, 记作 $P (F)$

我们能很容易地验证 $P$ 是线性空间, 也是 $F^{F}$ 的子空间

非空: $0 \in P (F)$
封闭: $(p^{1} + p^{2}) (z) = p^{1} (z) + p^{2} (z) = (a^{0} + a^{1} z + \dots + a^{n} z^{n}) + (b^{0} + b^{1} z + \dots + b^{n} z^{n}) = (a^{0} + b^{0}) + (a^{1} + b^{1}) z + \dots + (a^{n} + b^{n}) z^{n}$ , 其中 $n$ 是两个多项式次数中较大者. 故 $p^{1} + p^{2} \in P (F)$

一个事实

多项式的系数与多项式一一对应

proof
一组系数只能与一个多项式对应, 这一点是显然的;
而对于一个多项式, 假设其对应于两组系数, 把二者相减得到 $0$ , 而 $0$ 的系数必然全为 $0$ , 故两组系数相同.
由系数的唯一性, 我们可以定义一个多项式的阶(degree)

多项式的阶

对于一个多项式 $p$ , 一定存在一个 $m$ 使得
$p (z) = a^{0} + a^{1} z + \dots + a^{m} z^{m}$ 且 $a^{m} \neq = 0$ . 对于这种多项式, 我们称其为 $m$ 阶多项式, 记为 $de g p$ .
人为规定 $de g 0 = - \infty$

def. $P^{m} (F)$

定义这样一个线性空间 $P^{m} (F) := {p \in P (F) : de g p \leq m}$

fact: $P^{m} (F)$ 是线性空间, 因为它是 $P (F)$ 的子集且封闭(这一点跟容易验证).

def.无限维线性空间

不是有限维的线性空间称为无限维线性空间

ex.

$P (F), F^{S}, F^{F}$ 都是无限维线性空间

线性无关

考虑 $v \in s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ , 将其写成
$v = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots + a^{n} v^{n}$ 若 $v$ 也可以写成
$v = c^{1} v^{1} + c^{2} v^{2} + \dots + c^{n} v^{n}$ 考虑这样一个等式
$0 = v - v = (a^{1} - c^{1}) v^{1} + (a^{2} - c^{2}) v^{2} + \dots + (a^{n} - c^{n}) v^{n}$ 若这个等式只能是最平凡的情况即 $a^{j} - c^{j} = 0 \Leftrightarrow a^{j} = c^{j}$ , 我们就管这种情况叫 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 线性无关.

def.线性无关

称一个向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 线性无关, 若 $0 = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots + a^{n} v^{n} \Rightarrow a^{j} = 0, \forall j$ .
规定空向量组自动线性无关.

这个定义意思即是 $0$ 只能被向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 以一种方式线性表出, 即 $s p an (v^{1}) \oplus s p an (v^{2}) \oplus \dots \oplus s p an (v^{n})$ 是直和.
我们可以很容易第推出这种定义与我们引出线性无关概念的方式也是等价的, 即 $s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ 中每个向量表法都唯一.

ex.线性无关向量组

一个非零向量的向量组自动线性无关
两个向量线性无关的充要条件是两者互相都不是对方乘以某一个数
$(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)$ 线性无关
$1, z, z^{2}, z^{3}$ 是 $P (F)$ 中的一组线性无关向量

fact
一个线性无关向量组去掉若干向量后仍线性无关

proof
经过重排, 假设去掉的是长度为 $n$ 的向量组中的后 $n - m$ 个, 即去掉后还剩下前 $m$ 个.
由 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 线性无关可知 $a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots a^{n} v^{n} = 0 \Rightarrow a^{i} = 0, \forall i$ . 考虑 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 的线性无关性.
$b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} + \dots b^{m} v^{m} = 0 \Rightarrow (b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} + \dots b^{n} v^{n} = 0) \land (b^{m + 1} = b^{m + 2} = \dots = b^{n} = 0) \Rightarrow b^{i} = 0, \forall i$ 可见 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 线性无关. $□$

def.线性相关

称一个向量组线性相关, 如果它不是线性无关的
即称向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 线性相关, 若 $\exists a^{1}, a^{2} \dots a^{n}$ 使得 $a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots a^{n} v^{n} = 0$

任何向量组中, 若存在一个向量可被其他向量线性表出, 则其一定线性相关
任何含有 $0$ 的向量组都是线性相关的

这两个事实是显然的

lem.1

a) 对于一个线性相关向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ , 一定存在一个 $m$ 使得 $v^{m}$ 可被 $v^{1}, v^{2} \dots v^{m - 1}$ 线性表出.
b) 对于这样的 $v^{m}$ , 这个向量组去掉 $v^{m}$ 之前与之后张成的空间相同.

proof
对于第一个命题, 我们证明它的逆否命题. 即: 若一个向量组的每个向量都不能被它之前的所有向量线性表出, 则它是一个线性无关向量组.
我们用数学归纳法, 向量组长度为 $0$ 或 $1$ 的情况平凡(对于长度为 $1$ 的情况, 我们认为 $0$ 可被空向量组表出, 故这种情况是成立的)
长度为 $2$ 的情况: $v^{1}$ 不能被其前面的向量组线性表出, 即不能被空向量组线性表出, 保证了 $v^{1} \neq = 0$ , $v^{2}$ 不能被 $v^{1}$ 线性表出, 即 $v^{2} \neq = b v^{1}, \forall b \in F$ .
对于第二个命题, 我们考虑 $v^{m} = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + \dots + a^{m - 1} v^{m - 1}$ , 故
$s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n}) = {b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} \dots b^{n} v^{n} : b^{i} \in F} = b^{1} v^{1} + \dots b^{m} (1 \leq j \leq m - 1 \sum a^{j} v^{j}) + \dots + b^{n} v^{n} = {(b^{1} + a^{1}) v^{1} + \dots + (b^{m - 1} + a^{m - 1}) v^{m - 1} + \dots b^{n} v^{n} : a^{i}, b^{i} \in F, \forall i} \subseteq s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{m - 1}, v^{m + 1} \dots v^{n})$ 相反方向的包含关系是显然的, 所以二者相等. $□$

a)的逆否命题是: 若一个向量组的每个向量都不能由前面的向量线性表出, 则其线性无关. 可以立即得出一个推论, 若有一线性无关向量组 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ , 且 $v^{n + 1} \in / s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ , 有 $v^{1}, v^{2} \dots v^{n + 1}$ 还是线性无关的.

lem.线性无关组长度不能超过张成空间向量组长度

线性空间 $V$ 中的每个线性无关组的长度小于任意能张成这个线性空间的向量组的长度(后面我们会看到这个长度是唯一的)
即 $V = s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ 中的每个线性无关组的长度小于 $n$ .

proof
假设 $s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$ 中有一线性无关组 $u^{1}, u^{2} \dots u^{m}$ , 其长度 $m$ 大于 $n$ .
首先我们知道 $u^{i} \neq = 0, \forall i$ , 否则这个向量组直接线性相关, 矛盾
我们以这样的步骤构造一个向量组:

第 $1$ 步, 考虑如下的向量组
$u^{1}, v^{1}, \dots v^{n}$ 由 $l e m .1, a)$ 可知, 一定存在一个向量能被前面的向量线性表出. 且这个向量不是 $u^{1}$ , 否则与 $u^{1}$ 非 $0$ 矛盾. 故一定是某个 $v^{k}$ 能被前面的向量线性表出, 由引理的 $b)$ 款可以知道, 去掉这个向量之后仍能张成原来的线性空间. 将去掉后剩下的 $v$ 重新排序(因为 $v$ 的顺序在这个证明中是不重要的)为 $v^{1}, v^{2} \dots v^{k - 1}, v^{k + 1} \dots v^{n} := v^{2}, v^{3} \dots v^{n}$ , 有
$s p an (u^{1}, v^{2} \dots v^{n}) = V$
第j步
假设向量组 $u^{1}, u^{2} \dots u^{j - 1}, v^{j} \dots v^{n}$ 能张成 $V$ , 考虑向量组
$u^{1}, u^{2} \dots u^{j}, v^{j} \dots v^{n}$ 则一定存在一个向量能被前面的向量线性表出, 而这个向量一定不是 $u$ , 否则与 $u^{1}, u^{2} \dots u^{m}$ 线性无关矛盾, 故一定是某个 $v$ 可以被前面的向量线性表出. 把它去掉后仍能张成 $V$ , 将其重排后记为
$u^{1}, u^{2} \dots u^{j}, v^{j + 1} \dots v^{n}$

如此进行 $n$ 步, 我们得到
$s p an (u^{1}, u^{2} \dots u^{n}) = V$ 故 $V ∋ u^{n + 1}$ 可被 $u^{1}, u^{2} \dots u^{n}$ 线性表出, 说明这是一个线性相关向量组. $□$

ex.

$(0, 1), (1, 3), (3, 5)$ 一定线性相关, 因为 $R^{2} = s p an ((1, 0), (0, 1))$ ,只有两个向量.

cor.有限维线性空间的子空间也是有限维的

若 $V$ 是有限维线性空间, $U \subseteq V$ , 则 $U$ 也是有限维的

proof
要证 $U$ 是有限维的, 即找一个有限长度的向量组张成 $U$ . 由于 $V$ 是有限维的, $\exists v^{1}, v^{2} \dots v^{n}$ 使得 $V = s p an (v^{1}, v^{2} \dots v^{n})$
若 $U = {0}$ , 则空向量组能张成 $U$ , 直接成立

若 $U$ 中有非零向量 $u^{1}$ , 则 $u^{1}$ 自己线性无关, 如果 $U = s p an (u^{1})$ , 则 $U$ 为有限维的, 否则至少有一 $U ∋ u^{2} \in / s p an (u^{1})$ , 将 $u^{2}$ 添加到向量组中. 由于 $u^{2}$ 不能被前面的向量线性表出, 故这个向量组还是线性无关的.
若已经找到了 $k$ 个向量 $u^{1}, u^{2} \dots u^{k}$ , 若 $U = s p an (u^{1}, u^{2} \dots u^{k})$ , 直接有限维, 否则至少有一 $u^{k + 1} \in / s p an (u^{1}, u^{2} \dots u^{n})$ , 将 $u^{k + 1}$ 添加至向量组, 这还是一个线性无关的向量组.

若如此进行到第 $n + 1$ 步还没停止(如果停止了直接就是有限维), 则有一线性无关向量组 $u^{1}, u^{2} \dots u^{n} \in V$ , 矛盾, 故最多 $n$ 步就会停止. 故 $U$ 一定为有限维线性空间. $□$

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