当代数学哲学导论（5）：非欧几何
前面提到，欧氏几何给了人们一种全新的认识世界的方法。它从仅有的几条看上去显而易见正确的公理出发，就得到了整个逻辑体系。长期以来，欧氏几何被认为是人类认识绝对真理的范例，甚至提升到了一个至高无上的地步。《几何原本》的中文翻译者徐光启认为：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。”
不过，有一项研究是人们长期以来都在进行的，那就是关于第五公设的研究。第五公设断言：
如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。
这显然太长了，而且和其它的公理和公设不同，这一条公设可以说是相当不显然，非常不像一个“不证自明”的道理。这引发了数学家们的广泛思考：能否利用其它公理证明这个公设呢？
第一个想到这个问题的应该还是欧几里得。欧几里得在“由圆外一点向圆作切线”这一问题的解答中采取了一个非常绕弯路的方法，这个原因就是欧几里得尽可能地去避免使用三角形的内角和是180°这一结论（因为这一结论与第五公设是等价的）。
有很多人尝试去证明第五公设，其中最杰出的工作可能来自于阿拉伯数学家海什木和奥马尔·海亚姆（什么？你没有听说过他们？这很正常，毕竟西方世界的宣传直接把阿拉伯对人类文明的贡献抹杀掉了），奥马尔·海亚姆提出了海亚姆-萨凯里四边形，这成为研究第五公设的基础。
随后这一问题的研究限于停滞，人们找到了很多和第五公设等价的命题。与此相反的是，由于画画和其它问题的需求，射影几何、画法几何开始兴起，后来伴随着分析这一学科的兴起，微分几何、黎曼几何开始越来越精彩，非欧几何反而长期没能突破。
终于，在很多年后，终于有人认识到第五公设是不可证明的，同时这也意味着，如果改变第五公设，那么可以得到另一套逻辑自洽的几何。意识到这一点的人包括高斯、亚诺什·鲍耶和罗巴切夫斯基等人。
这个疯狂的结果迅速对数学界产生了巨大的冲击。高斯因为担心舆论的压力而没有公开他的结果，亚诺什·鲍耶意识到这个结果后原本高兴地去跟高斯分享，但高斯给他泼了一盆冷水：“最好不要公开这个结果。”罗巴切夫斯基是第一个公开发表这个结果的人，但是他的一生却饱受打击，最终郁郁而终。若不是黎曼几何的飞速发展，恐怕罗巴切夫斯基的工作就要被淹没在历史的潮流中了。
这里顺便一提，欧几里得的几何被称为欧氏几何，罗巴切夫斯基提出的几何被称为双曲几何，后来黎曼在发展黎曼几何的过程中把它们和在大航海时代广泛发展的球面几何统一在了一起。其中的双曲几何和球面几何被统称为非欧几何（但是因为球面本身可以嵌入欧氏空间，所以长期以来人们并没有意识到这是另一种几何）。
为什么非欧几何的发现给数学界带来的如此大的冲击？因为数学界长期认为，数学是认识世界的最重要手段。当你在纸上随手画出一个几何图形时，应该就有唯一一套的理论来描述这个图形。这个图形应该是一个客观的存在。不能认为它的面积有时候是1，有时候是2，这显然是荒谬的。
同样，过直线外一点能做多少条平行线也应该是一个确定的问题，不应该在欧氏几何中是一条，在双曲几何中是无数条，在球面几何中是零条。类似地，三角形的内角和究竟小于180°、等于180°还是大于180°呢？这个问题总应该有一个确定的答案吧。但是很遗憾，上面的三种几何分别给出了三个不同的答案。
这就奇怪了，世界上居然存在着这么多不同的几何。于是一个核心问题就显现了出来：哪种几何是真的呢？
从数学上说，每一种几何都是真的。每一种几何都是基于若干公理，经过逻辑推导得到的结果。这些推导都是符合逻辑、没有矛盾的，自然都是对的。
数学和自然这时候产生了一个巨大的矛盾。这个矛盾的根源是数学是一个逻辑系统。
《几何原本》中对点和直线给出了很多含糊不清的定义。假设我们忘却这些定义，假装不知道它们是什么，那么公理实际上就是在描述这些点和直线满足什么样的性质。在这种情况下，怎么能谈这些公理的对错呢？几何体系本身就是一个逻辑体系，如果对原始的术语不给出定义，那么就无所谓真假问题。
也就是说，要了解非欧几何，就要忽略任何的几何直观性，要严格地从逻辑体系中推导出非欧几何的结论。这里有很多的“坑”容易掉进去（其中最经典的例子是我们上次提到的Pasch定理）。我们必须反复强调、反复提醒自己这是一个逻辑系统，和我们生活的现实生活毫无关系。
那么回到前面的问题：哪一种几何是真的呢？答案便是，哪一种逻辑系统更加符合人的认知、更加满足人的需要，哪一种就是真的。
在牛顿力学的时代，所有的空间默认是欧氏空间，这非常符合几何直观，也方便我们使用，当然它是正确的；
在大航海时代，出于航海需求，需要对地球进行一系列估计，这是球面几何自然是正确的（尽管当时的人们并没有认识到这一点）；
在当代，相对论给出了曲率张量和动量-能量张量的关系（即Einstein方程），这时候物理学家们认为黎曼几何是正确的。
也就是说，数学本身只给了一个逻辑系统，至于哪一个更加符合现实，这取决于人的认识。在古希腊，人们的认识没有这么高，认为欧氏几何是更加符合现实的。现在我们已经无所谓哪种几何是更正确的，只看人们的需要。
这个观点的冲击实在是巨大。从这里开始，数学不再是一门人类认识世界的学科，而是变成了支撑人类认识世界的学科。物理、化学和其它学科从这里不断地汲取营养，帮助我们更好地认识世界。
那么，公理又是什么呢？既然数学不再是研究自然的科学，那么那些“不证自明”的道理都值得怀疑了：哪还有什么“不证自明”的东西？反正数学不过是一些逻辑系统，那公理完全可以随便定义的呀。
很遗憾，事实正是这样。现代数学认为公理不过是某些数学对象满足的一些约束条件。这些约束条件具有很大的任意性，基本上随便规定都可以得到一个全新的公理系统。不过，现代数学的公理系统还是需要一些约束的，不能太任意了，具体的要求可以分为两个层次：
公理系统不能自相矛盾、公理不能从别的公理推出，这是最基本的要求，除此之外有的还要求公理系统中的命题总是可判定的，不过后面这一条已经和现代的逻辑联系在一起了，这里先忽略它；
公理系统要尽可能与数学命题相关（直白地说就是有用），平白无故的一个公理系统是没有什么研究价值的，只有那些和数学问题密切相关的公理系统才有用。
上述公理系统的基本观点已经极大地深入数学体系，从ZFC公理化集合论，到几何的拓扑公理、代数的群公理、分析的序公理，都是当代数学的基石。也就是说，经过非欧几何，数学不再必须局限在现实世界，数学第一次拥有了完全地探索人类心智的自由。
