难度：★☆

适合年级：初中

欺骗性：☆

今天给大家带来一道二次方程的题目，考察的方向其实是韦达定理（当然存在比韦达定理更好的思考方式，后面会提到）

题目如下：已知二次ax²+bx+c=0的根为1、2，求二次方程cx²+bx+a=0的两根？（a,c≠0）

这道题可以用韦达定理来解，设后者方程的两根为x₁,x₂

由前者方程我们可以知道  -（a/b）=3，a/c=2

而后者方程利用韦达定理也可以知道：-（b/c）=x₁+x₂ , c/a=x₁·x₂

很显然可以知道x₁·x₂=1/2(倒数），然后-（b/c）实际上可以通过-（a/b）÷（a/c）获得，因此可以获得x₁+x₂=3/2，然后就是一个二元一次方程组啦~解一下就可以啦~

进一步思考

这道题十分有趣，因为它的系数被“镜像反转”了，那么这样的方程有什么特点吗？现在我把题目改一下：

已知二次ax²+bx+c=0的根为x₁、x₂，求二次方程cx²+bx+a=0的两根？（a,c≠0）

按照上面的解法：

由前者方程我们可以知道  -（a/b）=x₁+x₂，a/c=x₁·x₂

而后者方程利用韦达定理也可以知道：-（b/c）=x₁`+x₂` , c/a=x₁`·x₂`

很显然可以知道x₁`·x₂`=1/x₁·x₂(倒数），然后-（b/c）实际上可以通过-（a/b）÷（a/c）获得，因此可以获得x₁`+x₂`=(x₁+x₂)/x₁·x₂，然后就是一个二元一次方程组啦~解一下就可以啦~

解完后我们会惊奇的发现！x₁`=1/x₁ , x₂`=1/x₂，竟然全部都是倒数！这是为什么呢？

换一种思路

实际上对于二次方程ax²+bx+c=0  (a,c≠0,x₁,x₂≠0)我们可以两边同除以x²

即a+b/x+c/x²=0,再转化一下：c(1/x)²+b(1/x)+a=0，这不就是后者方程吗？只不过他们的x都转为了1/x！

这样的话我们就可以得到结论了：对于二次方程ax²+bx+c=0  (a,c≠0,x₁,x₂≠0)，二次方程cx²+bx+a=0的两根正是它的两根的倒数。

延伸思考

各位同学，本题仅仅是交换了系数，题目不变，你能研究出以下方程的两根特点吗

1. ax²-bx+c=0

2. cx²-bx+a=0

喜欢的话希望能点个关注哦~谢谢大家