一些有趣的数学题 (Day 1)

已知 ，求证：。

解法会在下面给出，大家可以选择先自己思考一下这个问题。

证明：注意到该不等式两边都是形如  的形式，故可设，原不等式即化为 。

考虑  的单调性，易知它在  上单调递减，在  上单调递增，并在  时取得最小值。接下来我们研究 和 的大小关系。

对于 ，有：；

而对于 ，设函数 ，则 ，而且 。因为 ，易知  在  上单调递减，所以有 。

因为 ，所以原不等式化为 ，即：

设函数 ，则上面的不等式化为 。接下来我们分析  的单调性。

对 求导，可得 。当  时有 ，所以我们设 ，则 。因为 ，而易证  时有  恒成立，所以有  在  时恒成立，也就是  在  上单调递增。   

因为 ，所以 。原命题得证。

补充：对  在  时恒成立的证明。   

首先证明  在  时恒成立。设 ，则 。令  可得 。显然  在  上单调递增，所以  在  时恒成立。又因为 ，所以  在  时恒成立，也即  在  时恒成立。   

有了这个式子，则 。