【种花家务·代数】1-4-02提取公因式的因式分解法『数理化自学丛书6677版』
【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。
【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第四章因式分解
§4-2提取公因式的因式分解法
【01】在上一节里，我们曾经看到，多项式 ab＋ac 可以化成两个整式的积，就是 ab＋ac＝a(b＋c) 。
【02】这里 a 是多项式 ab＋ac 的第一项 ab 的一个因式，也是它的第二项 ac 的一个因式，我们把它叫做 ab 和 ac 的公因式。
【03】一般地，如果一个多项式的各项里有一个公因式，我们可以象上面这样根据乘法对于加法的分配律，把这个公因式提取出来，把这个多项式分解成两个整式的积。例如 ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d) 。
【04】这样的因式分解，叫做提取公因式法。
例1.分解因式：(1) abc＋3bd－5b；(2) abc＋abd－3ab 。
【解】
(1) abc＋3bd－5b 是一个三项式，各项里都有因式 b，把它提取出来，得 abc＋3bd－5b＝b(ac＋3d－5)；
(2) abc＋abd－3ab 是一个三项式，各项里都有因式 a 和 b，把 a 和 b 都提出来，得 abc＋abd－3ab＝ab(c＋d－3) 。
例2.分解因式：(1) 6a³x⁴－8a²x⁵＋16ax⁶；(2) a⁸＋a⁷－2a⁶－3a⁵ 。
【解】
(1)在 6a³x⁴－8a²x⁵＋16ax⁶ 里，数字系数的最大公约数是 2，三项里都有因式 a 和 x，a 的最低次数是 1，x 的最低次数是 4，所以 2ax⁴ 是公因式。把 2ax⁴ 提出来，得 6a³x⁴－8a²x⁵＋16ax⁶＝2ax⁴(3a²－4ax＋8x²)；
(2)这里各项都有 a 的幂，而各项中 a 的最低次数是 5，a⁵ 就是公因式，把它提出来，得 a⁸＋a⁷－2a⁶－3a⁵＝a(a³＋a²－2a－3) 。
例3.分解因式：(1) x³＋x²＋x；(2)－x³y³－x²y²－xy 。
【解】(1) x³＋x²＋x＝x(x²＋x＋1)；(2)－x³y³－x²y²－xy＝－xy(x²y²＋xy＋1) 。
【说明】
(1) x 是 1·x，提出因式 x 后，另一个因式是 1，不要漏掉。
(2)三项都有“－”号，表示各项都有因数－1，应该把它提出来，把系数－1 的 1 省略不写。
习题4-2(1)
分解因式(1~10)：
[解法举例：ab＋ac＝a(b＋c) ]
从下面各代数式的各项中提出一个－1 的公因数来(11~14)：
[解法举例：－a＋x＝－(a－x) ]
把下面各式的公因式连同一个负号提出来(15~18)：
[解法举例：－ab－ac－ad＝－a(b＋c＋d) ]
例4.分解因式：(1) x(a＋b)＋y(a＋b)；(2) (a＋b)²＋(a＋b) 。
【解】
(1)这里的公因式是 (a＋b)，把它提出来，得 x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)；
(2)这里的公因式是 (a＋b)，把它提出来，得 (a＋b)²＋(a＋b)＝(a＋b)[(a＋b)＋1]＝(a＋b)(a＋b＋1) 。
【说明】[(a＋b)＋1] 这个因式的小括号外面还有加减号，所以要把小括号去掉，得 (a＋b＋1) 。
例5.分解因式：(1) a²b(a－b)＋3ab(a－b)；(2) 3(a＋b)(a－b)(x＋y)－(a＋b)(a－2b)(x＋y) 。
【解】
(1)把公因式 ab(a－b) 提出来，得 a²b(a－b)＋3ab(a－b)＝ab(a－b)(a＋3)；
(2)把公因式 (a＋b)(x＋y) 提出来，得
【说明】[3(a－b)－(a－2b)]内有同类项，所以要把小括号去掉化简。一般，即使没有同类项，也要化简。
例6.分解因式：(1) (a－b)²＋(b－a)(x＋y)；(2) (x－2y)(2x+3y)－2(2y－x)(5x－y) 。
【解】
(1) ∵ b－a＝－(a－b)，所以 a－b 是公因式，把它提出来，得
(2) ∵ 2y－x＝－(x－2y)，所以可以提出公因式 x－2y，得
习题4-2(2)
分解因式：
【答案】
