美国数学竞赛题,代数式等价代换要求极高,五道大题,解法极精彩
题一、
已知x=1+⁵√2+⁵√4+⁵√8+⁵√16
求(1+x⁻¹)³⁰
分析题目
已知5次根式化简，所求也是极高次代数式，那显然需要首先将X化简出来，如何化简，这就需要对x表达式足够分析得到，是一个等比数列，那显然是用求和公式求解，后者构造等比数列求和公式求解，思路有了。
参考答案
题二、
已知，ab/(a+b)=1/15，bc/(b+c)=1/16，ac/(a+c)=1/17
求S=abc/(ab+bc+ca)=?
分析题目
已知是三元三次分式方程组，直接求解也是问题不大，如何高效率解题，那显然需要先分析下所求代数式，需要哪些表达式才能求解，其实倒转一下S，口算就知道了需要求解，三元倒数的和，思路有了。
参考答案
题三、
已知(x+√(x²+2022))(y+√(y²+2022))=2022
且x≠y，求(x+y)²⁰²²
分析题目
已知是二元根式方程，而且存在大数，这个就限制了很多，所求为极高次代数式，那显然是需要求解出x+y的值才能求解，从已知的两个乘积项分析，会发现两个乘积项与各自的共轭根式相乘构成平方差公式，刚好可以抵消掉变量项次，产生的常数项刚好与等号右边的常数约掉，不就完美的求解出共轭共轭的值了，再相加，共轭部分不就抵消掉了，完美破题。
参考答案
题四、
已知，a²=a+√7，b²=b+√7
且a≠b，求，(a²+b²)²
分析题目
已知的郑重给出形式，让我们很容易想到韦达定理，但得到二元和与二元积的值，那所求代数式的值就轻松搞定了。
参考答案
题五、
已知实数x满足：x⁵=10−9x
求x²⁰²²的值
分析题目
已知是一个一元5次方程，所求为极高次代数式，那显然是需要求解出具体的x的值才能求解，针对这个一元5次方程，表面看难度很大，但仔细探究下，很容得到凑配方案，当然，需要对5次等比数列求和熟悉。
参考答案
