拉普拉斯变换||数理方法

//只能拉一点点，不能拉多了！

//开学之后果然有点更不动了

6.1 定义与基本性质

前面知道函数可以进行傅里叶变换的条件比较严格：绝对可积并在任意有限区间满足狄里希利条件。

而拉普拉斯变换存在的条件更宽。它通常用于求解初值问题，即函数满足

为了能进行傅里叶变换，构造函数：

其中参数足够大，保证了在绝对可积。

对它进行傅里叶变换：

令，

则上式称为拉普拉斯积分，为的拉普拉斯变换函数。

以上积分变换称为拉普拉斯变换，是变换的核。

再由的傅里叶变换的逆变换可以推出拉普拉斯变换的逆变换：

又被称为像函数，是原函数，变换关系可以写为

或者写为，

拉普拉斯变换存在仍有条件：

拉普拉斯变换的基本性质列举如下：

（线性定理）

（微分定理）

（积分定理）

（相似定理）

（位移定理）

（延迟定理）

（卷积定理）

最后一式左边的运算是前面一章提过的卷积。以上所有性质都与傅里叶变换类似，均体现了这一类积分变换的线性特性。证明方法也类似。

6.2 拉普拉斯变换的反演

利用微分定理与积分定理可以将微分方程转化为代数方程，从而较方便地解出，再通过反演求出. 为了完成反演，先列出几个重要例题：

① 求

要保证绝对可积，需有

右边积分恰好是(当n是非负整数时.)

所以. 

② 求

根据位移定理，

③ 求，是存在拉普拉斯 变换的任意函数。

由拉普拉斯变换的定义式：

两边对p求n阶微分，得到

所以

④ 求

利用,

代入②中取，得到

接下来介绍常见的求反演的方法：

① 有理分式

众所周知，有理分式可以分解为几类函数的和。再借助线性定理、位移定理和前面几个例题就可以完成对有理分式的反演。

② 查表：利用延迟、位移、卷积等定理，结合已有的表解决问题。

我们教材上的表：

③ 黎曼-梅林反演公式

前面导出的这一式就被称为黎曼-梅林反演公式。

此外，在求积分时可以用到留数定理，可以证明：

式中求和对在的左半平面所有奇点进行。且满足推广的约当引理的成立条件：

3. 应用

由于拉普拉斯变换的微分与积分定理，适合处理线性微分方程。例如：

设， 则

再进行反演就可以得到原先微分方程的解了。

(其实按照我的理解，虽然通过积分变换将微分方程转换为代数方程，但是本质上只是将求积分的操作转移到了拉普拉斯变换这一操作中，而对原方程的变形等操作则等价于求解变换后的代数方程。而初值的影响则体现在拉普拉斯变换的微分定理中的. 总体来说，把“方程如何变形”的问题转化成“如何求含的代数方程”，是拉普拉斯变换简化微分方程求解的原理。)

参考文献

[1] 梁昆淼. 数学物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，90~100.