实变函数漫谈(1)集合的极限

偶然发现B站是可以latex的，所以决定以随笔的形式写点东西，今天先说说最先要学的概念集合的上下极限问题，那么就先看数列的上下极限，上极限叫做limitsup，仅仅从语法上看就是 sup的limit，一个数列，从某个指标往后取所有数的极大值，如果没有极大值就算，记作,那就得到了一个新的数列:是一个单调递减的，所以自然有极限这个极限就是上极限。现在面对集合列，取从某个指标往后所有集合的并集：,可以得到一个递减的集合，所以自然会有一个极限：,这就是集合的上极限的定义。写出来就是

现在反过来看这个表达式应该如何解释呢，我们说 也就是对任何指标,都有

,说,就是存在一个指标，使得。类似于数学分析里的和语言，所以上极限中的元素应该这样解释：对任何指标都存在某个指标，使得

通俗的说就是这列集合不管从那个序号往后总能找到一个集合能够包含该点。所以类似的也可以理解下极限的定义：存在某个序列往后所有的集合都包含该点。形象的来看，上极限就是这些集合不断摆动总能够覆盖的区域，而下极限就是所有集合能够共同覆盖的区域。所以如果上下极限相等的意思就说集合的摆动会越来越小。

下面是两个小的Tips，我们知道数列的上下极限在取负号的意义下对偶，而集合也一样在取补集合的情况下上下极限对偶。可以用逐点的方式定义函数列的上下极限，根据一个集合也可以定义特征函数，也就是在集合内的点取，集合外的点取值，你们可以自己证明特征函数的上极限就刚好对应上极限的特征函数。