欧拉公式exp(iπ)+1=0的7种“另类”证明

2021-04-08 02:10 作者:中国大黄鸭鸭 0人读过 | 我要投稿

大家好，我是大黄鸭。进来的人和小黄鸭都是积佬吧（up主亦然）……
最近，我看到b站一些有关欧拉公式 $e%5E%7Bi%CF%80%7D%2B1%3D0$ 的数学虚无主义言论。

虚无主义，指作为哲学意义认为世界，特别是人类的存在没有意义、目的以及可理解的真相及最本质价值。

——百度百科（https://baike.baidu.com/item/虚无主义）

显然，这里的“数学虚无主义”就是认为“数学的存在没有意义、可理解的定理及最本质价值”。在欧拉公式上，体现为“欧拉公式不仅证明过程不可理喻，而且还毛用没有”。首先，“毛用没有”肯定不成立——物理学经常用到复指数，如果欧拉公式不成立，物理学会出问题的。下面，主要驳斥的是“证明过程不可理喻”的观点，方法就是列举出7种除泰勒展开以外的严谨证明。

首先要阐明：我并不是说发这些言论的人数学都很菜，他们很多人是我钦佩的数学up主。只是某些方面，他们并不甚了解。

当然，明白人还是有的：

下面，咱们就开始科普一些欧拉公式的7种“另类”证明，以说明这一点：已知的任何欧拉公式的证法都不能推导出与欧拉公式相异的结果。它们有一个成立的关键条件：复数继承了实数的所有运算律以及计算结果。这是复数被公众的接受程度大于四元数的原因之一。

下面的证明过程，往往会对 $e%5Ex$ 、 $%5Cln%20x$ 进行微积分计算。而这种计算并不需要基于欧拉公式，只是需要链式法则，因此不涉及循环论证。另外，棣莫弗定理是可以拓展到实数次方的，只是在众多的结果中，只有一个是主值。

虽然本文史无前例地将欧拉公式的6种证明方法汇总在一起，但证明的严格性，咱们会在下一期“复变指数对数的求导与棣莫弗定理”进行讨论。

一 求导法

证法1 求导确定底数法

　　参考资料：欧拉公式的证明（整理）（https://wenku.baidu.com/view/56cf92c758f5f61fb7366620.html）

　　设存在 $a$ ，使 $a%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%20%5Cleft(r%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%5E%2B%7D%7C%20a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%5Cland%20a%E2%89%A01%20%5Cright)%2C%20x%3D%20x(%CE%B8)%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　对 $%CE%B8$ 求导，得

　　 $i%20a%5E%7Bix%7D%20%5Cln%20a%20%5C%20x'(%CE%B8)%3Di%7B%5C%20%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　注意！这里 $%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7Da%5E%7Bix%7D%20%3D%20i%20a%5E%7Bix%7D%20%5Cln%20a$ 并非求出了 $a%5E%7Bix%7D$ 的导数，因为此时我们并不知道 $a%5E%7Bix%7D$ 的具体定义。因此，明确这一步在做什么，非常重要。

【妖王】你是在“撸爆蛋”

　　各位，各位，别听妖王瞎说！别听他瞎说……这一步其实只是求出了 $a%5E%7Bix%7D$ 的导数与它自己的关系，至于如果让我现在就画出它们俩的函数图像，那是不可能的。

　　其实除了根据等号右边推出左边，用求导法从左边推到右边也是可以的。

嘿，小姐姐，你好像不开心~~

证法2 比值求导法

　　参考资料：中文维基百科欧拉公式（https://www.tposa.xyz/wiki/欧拉公式）

　　设 $f(x)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C$

　　则 $f%E2%80%99(x)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D(i%7B%5C%20%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x)-ie%5E%7Bix%7D(%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x)%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D%3D0$

　　将 $x%3D0$ 代入 $%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C$ ，得

　　 $f(0)%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B0%7D%7D%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%200%7D%3D1$

　　 $%E2%88%B4f(x)%3D1$

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

欧拉公式，你个全纯函数小可爱，要不要做我女朋友？

二搞积法

证法3 根式求积分法

　　参考资料：欧拉公式的证明（https://wenku.baidu.com/view/56cf92c758f5f61fb7366620.html）

　　在试图证明欧拉公式前，我们先来讨论一下这个基分（误）怎么解：

$%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7Bt%5E2-1%7D%20dt$

　　答案是：利用换元积分法：

　　设 $t%3D%5Ccosh%20u$

　　则 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csinh%20u%20%5C%20d%5Ccosh%20u%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csinh%5E2%20u%20%5C%20du$

　　降幂可得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Cfrac%7B%5Ccosh%202u-1%7D%7B2%7D%20du%3D%7B%5B%5Cfrac%7B%5Csinh%202u%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bu%7D%7B2%7D%5D%7D_%7Bt%3D1%7D%5E%7Bt%3Dx%7D$

　　将 $u%3D%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t$ 代入，得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B%5Csinh%202%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t%7D4-%5Cfrac%7B%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20t%7D2%20%5Cright%5D%20_%7B1%7D%5E%7Bx%7D$

　　化简，得

　　 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cfrac%7Bx%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%20-%20%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x%7D%7B2%7D$

　　那么这个式子等于什么：

$i%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7Bt%5E2-1%7D%20dt$

　　有人说：直接那上面结果乘 $i$ 不香吗？可是，我们今天要用一种全新的计算方法：

$%5Cint_%7B1%7D%5E%7Bx%7D%20%5Csqrt%7B1-t%5E2%7D%20dt$

COS兔女郎，积分全解完（误）

　　利用三角代换法，易证 $%E5%8E%9F%E5%BC%8F%20%3D%5Cfrac%7B-ix%5Csqrt%7Bx%5E2-1%7D%2B%5Ccos%5E%7B-1%7D%E2%81%A1x%7D%7B2%7D$

　　因此，很显然， $-i%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D%20x$ ，

　　 $%E2%88%B5%5Ccosh%7B(-i%5Ccosh%5E%7B-1%7D%20x)%7D%3D%5Ccos%20%7B(%5Ccos%5E%7B-1%7D%20x)%7D$

　　 $%E2%88%B4%5Ccosh%7B(-iy)%7D%3D%5Ccos%20y%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　 $%E2%88%B4-%5Csqrt%7B%5Ccosh%5E2%20%7B(-iy)%7D-1%7D%20%3Di%5Csqrt%7B1-%5Ccos%5E2%20y%7D%20$

　　 $%E2%88%B4-%5Csinh%7B(-iy)%7D%20%3Di%5Csin%7By%7D%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$

　　其实通过 $%E2%91%A0%5C%20%5C%20$ 和 $%E2%91%A1%5C%20%5C%20$ ，就可以描述复变三角函数、双曲函数了哟！！具体内容参见双曲函数——与三角函数关系（https://baike.baidu.com/item/双曲函数/8704306?fr=aladdin#3），此处不赘述。

　　根据双曲函数定义，得 $%5Cfrac%7Be%5E%7Biy%7D%2Be%5E%7B-iy%7D%7D%7B2%7D%3D%5Ccos%20y%20%5C%20%E2%91%A2%5C%20%5C%20%2C-%5Cfrac%7Be%5E%7B-iy%7D-e%5E%7Biy%7D%7D%7B2%7D%20%3Di%5Csin%7By%7D%5C%20%E2%91%A3%5C%20%5C%20$

　　 $%E2%91%A2%5C%20%5C%20%2B%5C%20%E2%91%A3%5C%20%5C%20$ ，得

$e%5E%7Biy%7D%3D%5Ccos%20y%2Bi%5Csin%20y%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　这种方法没有将 $i$ 与 $-i$ 严格区分开，而具体的符号可以根据其它证法确定。嘿嘿！

【=咬人猫=】你也会 $%5Ccos$ ？我也会COS，耶[脱单doge]

证法4 分式求积分法

参考资料：欧拉公式的多种证法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

想想看，这个积分怎么算？

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D$

　　 $%E2%88%B5%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D%3D%5Cleft%5B%20%5Ctan%5E%7B-1%7Dt%20%5Cright%5D_0%5Ey%3D%5Ctan%5E%7B-1%7Dy$

$%5Cland%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%5E2%2B1%7D%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7By%7D%20-%5Cfrac%7Bdt%7D%7B2i%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%2Bi%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bt-i%7D%20%5Cright)$

$%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cln%20(t%2Bi)-%5Cln%20%7B(t-i)%7D%20%5Cright%5D_0%5Ey%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(y%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20y%5E2%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%20%5Cright%5D$

　　记 $%5Ctan%5E%7B-1%7D%20y%3D%CE%B8$ ，由此得 $y%3D%5Ctan%20%CE%B8$ ，所以

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cleft%5B%20%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(y%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20y%5E2%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%20%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5B%5Cln%20%5Cfrac%7B%20(%5Ctan%20%CE%B8%2Bi)%5E2%20%7D%7B%20%5Ctan%5E2%20%CE%B8%2B1%20%7D-%5Cln%20%7B(-1)%7D%5D$

　　由 $%5Ctan%5E2%20%CE%B8%2B1%3D%20%5Csec%20%CE%B8$ 与对数运算律，得：

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cleft%5B%20-%5Ccos%5E2%20%CE%B8%20%5Cleft(%20%5Ctan%20%CE%B8%2Bi%20%5Cright)%20%5E2%20%5Cright%5D$

　　将 $%5Ctan%20%CE%B8%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20%CE%B8%7D%7B%5Ccos%20%CE%B8%7D$ 代入并整理，得

　　 $%CE%B8%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5Cleft%5B%20%5Ccos%5E2%20%CE%B8-2i%5Ccos%20%CE%B8%5Csin%20%CE%B8-%5Csin%5E2%20%CE%B8%20%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cln%20%5B%5Ccos%20%7B(-%CE%B8)%7D-i%5Csin%20%7B(-%CE%B8)%7D%5D%5E2$

　　令 $x%3D-%CE%B8$ ，得 $ix%3D%5Cln%7B(%5Ccos%20x%2Bi%5Csin%20x)%7D%3D%5Cln%20%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x%7D$

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%20%3D%20%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

【up主】我裂开了……哪个铁憨憨想出来的这么不友好的证明……

三微分方程法

证法5 分离变量积分法

　　参考资料：欧拉公式的多种证法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

　　设 $y%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

　　求导，得

　　 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Diy$

　　分离变量

　　 $%E2%88%B4%5Cfrac%7Bdx%7D%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7By%7D%20%20iy%20$

　　 $%E2%88%B4%5Cint%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D%20%3D%20%5Cint%20idx$

　　鸡分（误），得

　　 $%5Cln%20y%20%3D%20ix%2BC%20%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$

　　将 $x%3D0$ 代入，得

　　 $%5Cln%20%7B%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%200%7D%3DC$

　　 $%E2%88%B4C%3D0%20%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$

　　将 $%5C%20%E2%91%A1%5C%20%5C%20$ 代入 $%5C%20%E2%91%A0%5C%20%5C%20$ ，并求自然指数，得

　　 $%E2%88%B4e%5E%7Bix%7D%3D%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20x$

嘿，要不我送你一包薯片？

四极限法

证法6 极限指数法

　　参考资料1：#高中知识证明欧拉恒等式#

　　参考资料2：欧拉公式的多种证法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）

　　啊呀，忘了开始讲了！

　　对 $e%5Ei$ 进行变形

　　 $%E2%88%B5e%5E%7Bi%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20e%5E%7Bi%CE%94x%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%CE%94x%7D%20%7D%3D%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20%CE%94x%20%5Cfrac%7Be%5E%7B0i%7D%2Be%5E%7Bi%CE%94x%7D-e%5E%7B0i%7D%20%7D%7B%CE%94x%7D%20%5Cright)%5E%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%CE%94x%7D%20%7D$

　　由导数的定义，得

　　 $e%5E%7Bi%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%E2%86%920%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%CE%94x%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%20e%5E%7Bix%7D%20%5Cright%5D_%7Bx%3D0%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%201%7B%CE%94x%7D%20%7D%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%E2%86%920%7D%20%5Cleft(%201%2B%20i%CE%94x%20%5Cright)%20%5E%20%7B%20%5Cfrac%201%7B%CE%94x%7D%20%7D$

$%3D%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%5Cfrac%20in%20%5Cright)%20%5E%20n$

　　由棣莫弗定理，得

　　 $e%5E%7Bix%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cleft(%201%2B%20%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7Bnx%7D%20%3D%20%5Clim_%7B%CE%94x%5Cto0%7D%20%5Cleft(%20%5Ccos%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%2B%20i%5Csin%20%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5E%20%7Bnx%7D%20%3D%20%5Ccos%20x%20%2B%20i%5Csin%20x$

　　没看完推导过程的基友，千万不要被下面高对比度的图片吸引住目光。如果看完了，那就去追JOJO吧（误！还有一种证法在下面！）。

　　就知道你们喜欢看JOJO……

证法7 极限对数法 up主原创

　　注：为精缩文本，方便阅读，以下内容中部分 $%CE%B8%2B2k%CF%80%20%5Cleft(k%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cright)$ 被简写为 $%CE%B8$ ，其实严格的证明不能这么写。

　　设 $y%3Dr%5C%20%7B%5Crm%20cis%20%5C%20%7D%20%CE%B8%2Cr%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%5E%2B%7D$

　　以下的积分路径是： $%7B%5Crm%20Re%5C%20%7Dy%3E0$ 时，走直线走； $%7B%5Crm%20Re%5C%20%7Dy%3C0$ 时，先由 $1$ 直线走到 $i$ ，再直线走到 $y$ 。

　　 $%E2%88%B5%5Cint_%7B1%7D%5E%7By%7D%20%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt%7D%3D%5Cln%20y%20%5Cquad%20%5Cland%20%5Cquad%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7By%7D%20%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20t%5E%7Bn-1%7Ddt%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7By%5En-1%7D%7Bn%7D$

　　 $%E2%88%B4%5Cln%20y%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7By%5En-1%7Dn%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Br%5En%7B%5C%20%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8-1%7Dn$

$%3D%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cleft(r%5En-1%20%5Cright)%7B%5C%20%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8%2B%7B%5Crm%20cis%7D%5En%5C%20%CE%B8-1%7Dn$

　　下一步使用了棣莫弗定理：

　　 $%E2%88%B4%5Cln%20y%20%3D%20%5Clim_%7Bn%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Br%5En-1%7Dn%7B%5C%20%5Crm%20cis%5C%20%7Dn%CE%B8%2B%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20cis%5C%20%7Dn%CE%B8%20-1%7Dn$