三角函数公式_1

三角函数, 是指与角度有关的一些函数, 包括以下六种:

正弦 sin,    余弦 cos,

正切 tan,    余切 cot,

正割 sec,    余割 csc.

对于一个确定的角度, 它的三角函数, 只要有定义, 那就一定是唯一的结果. 其中, 前 4 个函数, 在实际应用中使用较多, 另外 2 个相对来说不常用.

在中学阶段, 我们主要掌握正弦, 余弦, 和正切这 3 者的计算和变换.

我们首先要知道, 这些函数名称的由来, 然后根据名称, 去联想计算公式.

1. 正弦的计算

在单位圆中,  正弦是这样定义的:

如下图所示: 

单位圆的半径 R = 1, 所以, 此时的 y 的数值就等于角 θ 的正弦值.

在直角三角形里, 可以这样定义正弦:

顾名思义, "正" 就是正对着的位置, "弦" 是指圆里的弦.

注意, 第 2 种定义, 只适用于锐角, 而第 1 种定义对所有的角都适用.

在半径为 R 的圆中, 如果一条弦对应的圆心角为 α, 则弦长

推导过程很简单, 如下图:

2. 余弦的计算

讲余弦之前, 我先说明 "余角" 的概念.

相加为 90° 的两个角, 互为余角; 例如, 同一个直角三角形里, 两个锐角就互为余角, 简称"互余"; 如果其中一个为 θ, 那另一个角一定等于 90° - θ.

我们可以这样理解: 余角的正弦, 简称 "余弦". 有这样一个恒等式:

不过, 这并不是余弦的定义式, 这个等号, 只是数值上的等于.

我会在下期专栏里, 证明这个等式.

余弦的定义式, 在单位圆里, 我们写成:

在直角三角形里, 我们写成:

同样地, 后者仅对锐角适用, 前者对任意角度都适用.

关于正弦和余弦, 有一个重要的恒等式:

利用勾股定理, 可以很方便地证明它, 不过, 我有另一种思路.

 

(大家可以在单位圆里验证, 具体证明略)

下期预告:

正切和余切的计算, 和角公式和差角公式的推导.