2020年考研数学(二)真题解析(高清大图)

2021-12-05 22:35 作者:梦醒南天 0人读过 | 我要投稿

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）

（1）当 $x%E2%86%920%5E%2B%20$ 时，下列无穷小量最高阶是

（A） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%20(e%5E%7Bt%5E2%7D-1%20)dt%20$

（B） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%20%20%5Cln%20(1%2B%20%5Csqrt%7Bt%5E3%20%7D%20)%20dt%20$

（C） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Csin%20x%20%7D%20%5Csin%20t%5E2%20%20dt%20$

（D） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1-%5Ccos%20x%20%7D%20%5Csqrt%7B%5Csin%20%20%5E3%20t%20%7D%20%20dt%20$

答案：D

（2）函数 $f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B%20e%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%20%7D%20%5Cln%20%5Cvert%201%2Bx%20%5Cvert%20%20%20%7D%7B%20(e%5E2%20-1)(x-2)%20%7D%20$ 的第二类间断点的个数为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

答案：C

（3） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7Barcsin%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bx(1-x)%7D%20%20%7D%20dx%20%20%3D%20$

（A） $%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%20%7D%7B4%7D%20$

（B） $%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%20%7D%7B8%7D%20$

（C） $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20$

（D） $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B8%7D%20$

答案：A

（4）已知函数 $f(x)%20%3D%20x%5E2%5Cln%20(1-x)%20.%20$ 当 $n%20%5Cgeq%20%203$ 时， $f%5E%7B(n)%7D(0)%20%3D%20%20$

（A） $-%5Cfrac%7Bn%20!%7D%7Bn-2%7D%20$

（B） $%5Cfrac%7Bn%20!%7D%7Bn-2%7D%20$

（C） $-%5Cfrac%7B(n-2)%20!%7D%7Bn%7D%20$

（D） $%5Cfrac%7B(n-2)%20!%7D%7Bn%7D%20$

答案：A

答案：B

答案：B

答案：C

答案：D

二、填空题（9~14 题，每小题 4 分，共 24 分）

（10） $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20dy%20%5Cint_%7B%5Csqrt%7By%7D%20%7D%5E%7B1%7D%20%5Csqrt%7Bx%5E3%2B1%7D%20dx%20%3D%20%20$ __________ .

（11）设 $z%20%3D%20arctan%5Bxy%20%2B%20sin(x%2By)%5D$ ，则 $dz%20%5Cvert%20_%7B(0%2C%5Cpi%20)%7D%20%20%3D%20$ __________ .

（12）斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g，水密度为 $%5Crho%20$ ，则该平板一侧所受的水压力为 __________ .

（13）设 $y%20%3D%20y(x)$ 满足 $y''%2B2y'%2By%20%3D%200$ ，且 $y(0)%20%3D%200%2C%20y'(0)%20%3D%201$ ，则 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20y(x)dx%20%3D%20%20$ __________ .

三、解答题（15~23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分 10 分）

求曲线 $y%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B1%2Bx%7D%7D%7B(1%2Bx)%5Ex%7D%20(x%3E0)%20$ 的斜渐近线方程 .

（16）（本题满分 10 分）

已知函数 $f(x)$ 连续且 $%5Clim_%7Bx%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D%20%20%3D%201%2C%20g(x)%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%20f(xt)dt%20%20$ ，求 $g'(x)$ 并证明 $g'(x)$ 在 $x%20%3D%200$ 处连续 .

（17）（本题满分 10 分）

求函数 $f(x%2Cy)%20%3D%20x%5E3%20%2B%208y%5E3%20-xy$ 的极值 .

（18）（本题满分 10 分）

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0%2C%20%2B%E2%88%9E)$ 且满足 $2f(x)%2Bx%5E2f(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%20%2B%202x%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%20%7D%20$ ，求 $f(x)$ ，并求曲线 $y%3Df(x)%2Cy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%20y%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%7B2%7D%20%20%20$ 及 $y$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积 .

（21）（本题满分 11 分）

设函数 $f(x)$ 可导，且 $f'(x)%3E0$ ，曲线 $y%3Df(x)(x%5Cgeq%200)$ 经过坐标原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $T$ ，又 $MP$ 垂直 $x$ 轴与点 $P$ . 已知曲线 $y%3Df(x)$ ，直线 $MP$ 以及 $x$ 轴所围图形的面积与 $%5CDelta%20MTP$ 的面积之比恒为 3:2 ，求满足上述条件的曲线方程 .