概率论复习 下

拿皇本人

上篇文章大家反映还行，那就继续写了。今天我们将继续向后进行，而随机变量的数字特征又是重点兼难点。

首先是说这个边缘分布。理解起来或许可以认为是一种降维操作，不再考虑另一个变量的影响。

依旧是背公式然后做题就行，前提是边界需要自行判断，用到了重积分的技巧与知识。我的建议是数形结合来做题，画出来积分区域后结果是一目了然的。

如果考到离散型二维随机变量的分布列，也不难，以解读本例题为套路：

一般常见列表格，不要漏任何一种情况。注意到D可以取1 2 3 4，F可以取0 1 2。

然后是D F的联合分布律，检验结果的标准就是概率和为1

边缘分布律就是最底下以及最右边的两个表格，单独写出来就行。离散型二维随机变量的题目主要是读懂题意然后找出两者之间的关系。比如说本题依靠“整除”来建立关系，那么就有必要在草稿纸上列出并检验之。

相对应的就会有条件分布，这个在我高中学的时候也是一头雾水，甚是头大，后来背公式勉强过关。我个人感觉也没必要去纠结，做的题多了就自然有了思路。毕竟我们学数学是作为一个得心应手的工具，培养数学情怀，而不是去纠结原理。

背公式.jpg 

数学1/6的时间背公式，2/3的时间刷题反思总结，1/6的时间考试、取得进步并最终驾驭数学题目。

先考察了均匀分布，易得A=π 

然后反求 老规矩 重积分 利用x反解含有y的上下边界。

最后利用上面的公式即可求出。

至于说相互独立的随机变量，记住公式不就好了么，这里还没有涉及到后面数字特征的“独立”，因此并不难。

我只能说，请先记住这个东西，在后面会用到并且很容易与其他的概念混淆。

卷积公式那玩意儿就是对前面所学的应用，看似三维实则二维，本质还是不定积分。所以说打好高数基础的重要性不用再强调了吧，做题就行。

接下来是概率论中的重难点，也是往年真题的考察区域，即“随机变量的数字特征”——围绕数学期望 方差 协方差 三个特征展开。不仅是漫长的背公式过程，也是一个需要做题练习的过程。话不多说，先上公式，每天背一遍抄一遍我不信你记不住。

数学期望就是初中学过的加权平均数，“权”意为权重。

在量子力学中经常有计算能量 坐标 动量的期望值一说，只不过用波函数的模平方代表概率密度函数，然后具体的力学量用算符代入，在整个空间上积分即可。

你看这公式纷繁复杂，是不是要每天都记忆一遍呢？

“独立”的概念不止一次出现在这里。

所以我们之前学过的均匀分布 指数分布 泊松分布以及二项分布都是可以计算的吗？当然可以，不过我推荐记忆公式。推导可以自己闲的没事拿笔算算，我习惯身上带一支笔一张纸，或者纯心算，没事了就脑子里推一遍公式或者回忆一下定理，看似发呆实则大脑在高速运转XD

浙大四版上例题挺好的，你们自己看看吧...

然后是协方差，来记绕口令：

“独立必定不相关 相关必定不独立 不相关一定不独立”

从公式上出发，独立意味着E(XY)=E(X)E(Y) 也就是Cov(X,Y)=0

相关系数为0，那肯定不相关；同理相关的话系数不为0肯定不独立。

最后一句怎么理解？我给一个约定，目前所谓“相关”都是线性相关，暂且不考虑非线性的情况。“独立”通俗易懂地说就是“我们俩离了谁都能过”，严谨地说就是你的变化影响不到我。比如U=IR，我们要求电压U的均值E(U),电阻本身是依靠材料性质决定的，电流来源于外界输入，比如说外面接了个电源什么的。（你可能会反驳说电阻大了电流就小了，不错，但是你建立在电压恒稳的前提下这题目就没意义了）那么E(U)=E(I)E(R)就可以计算了。

好，这里请大家试想一下有一个单位圆，X²+Y²=1，X与Y是不“相关”（线性相关） 的，但是，X与Y却有一个关系X²+Y²=1，二者你中有我我中有你，又怎能称得上“独立”一说？

这就是前面提到的易混点，易错点，今天请记住我的绕口令和例子。

然后从做题的角度再提一嘴第五单元的“大数定律”。

在我学概率论的时候很多人经常捧着书来找我说“拿皇你给讲讲什么叫辛钦大数定理呗，什么叫伯努利大数定律呗”，其实我也不知道这是个什么玩意儿，但是他肯定不会出现在考卷中，属于是你懂就懂不懂拉倒的玩意儿。真正出现在考试中的是中心极限定理和它的的特殊情况——“棣莫弗 拉普拉斯定理”：

这玩意儿怎么记？建议用这两个例题对着公式看，找出来一般形式。

这个是二项分布的例题

如果你想检验自己写的对不对，只需要看题目中是否给了你可能用到的Φ(n)值，比如本题就是五分之二倍根号二，那题目中一定给你，否则你怎么算？

这个是公式一的例题

至此按照浙大四版概率论的编排顺序，概率论部分结束。

推荐习题书：

我高考完就已经知道自己考的是个垃圾，所以从2019年6月10号开始捧着高数线代+对应的吉米多维奇书认真搞了一遍，效果很好，因此墙裂推荐各位用吉米多维奇。至于说复习考研的同学要结合着自己报的考研辅导班发放的讲义来刷题。

概率论至此结束。

线性代数 高等数学 正在路上

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