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简介包络线方程的几个解法

2022-06-19 22:15 作者:现代微积分  | 我要投稿

一个以物理为背景的有趣数学问题:求由原点斜上抛运动的抛物线曲线族的包络线

详细的原问题可参考视频:BV1PZ4y1o7BV

方法我会根据门槛由低到高排序。

首先求出抛物线方程

参数方程转直角坐标方程

这是一个含参θ的抛物线,会随着θ的改变而移动

法一:方程思想

设平面内一点为P(x₀,y₀),将该点坐标代入抛物线方程得到一条关于θ的方程。若该方程有实数解,则说明该点位于包络区域内;反之,若该方程无实数解,则该点位于包络区域外。所以我们的目的就很明确了:求取满足该方程有实数解的条件。(这一步转化很关键)


法二:控制变量思想

取一直线x=x₀,改变参数θ,观察抛物线与该直线的交点变化,取其在变化过程中能达到最大高度(交点纵坐标最大)时对应的点。

改变x₀的值,重复同样的步骤,那么将所有这些最高点连起来,就是抛物线的运动边界,即包络线。

这是一个以t为自变量的二次函数,运用初中所学的二次函数最值求法求解即可。

二次函数顶点坐标结论(简证即可)

由于t∈R,故最值(此处为最大值)在对称轴处取得。

这是解法二,其思想就是先求出每个特定的x值对应的最大y值,再把所有最高点连接起来。第一步运用了控制变量的思想:将x固定,在特定的x值下单独看y受θ影响,这种思想其实就是多元函数求偏导的内核,于是有了法三:偏导法

我们发现,对θ求偏导,实际上就是控制x不变,求y关于θ的函数的极值,其底层逻辑和法二是相同的。这也初步解释了求包络线需要对曲线参数求偏导的原因。


下面拿一道题练习练习。

求xcosθ+ysinθ=1的包络线

学过极点极线的话能一眼看出这是单位圆x²+y²=1的切线族,但这其实算提前知道答案了。如何在不知道答案的情况下求出包络线呢?下面用上述的两个方法求解。

法一:方程思想:

法二:控制变量思想:

总结:这篇专栏就带读者们初始了含参曲线族的包络线及其求法,同时简单解释了求偏导的一个底层逻辑:控制变量法,这是个解决多变量问题的重要思想,望读者们有所领悟有所收获。

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