挺有用的常微分方程（五）

呀呼！一些烦心的事终于结束了，现在可以静下心来写一些东西喽！

近半年都没有更新……属实是因为这半年来太忙了，学习上的事太多，都要处理，心力交瘁，就没再多写。现在好了，终于放假了，所以可以更新啦！

上次把之前积攒的一篇专栏补全了点东西之后就发了出去，介绍了有关常系数齐次线性微分方程的一些相关内容。也许有一些和大家之前接触过的部分微分方程的概念和内容有比较大的出入，不知道各位能接受多少。希望大家都能理解吧！

现在，我们就要继续将一维线性微分方程继续推及，研究非齐次线性微分方程。

Chapter  Three  常系数线性方程 

3.3  稳定多项式

我们已经掌握了基本的解决线性微分方程的一般方法，还对解的形式和性质有了一些初步的认知。从我们之前的讨论当中，不难得出，常系数线性微分方程的解一般都与指数函数关系密切。因此，指数函数的性质对于解出来的解函数而言，有着重要的作用。

我们都知道，对于指数函数而言，如果a为正数，则x趋于正无穷时，函数无界；趋于负无穷，函数趋于0。反之则相反。一般而言，从微分方程的角度来说，需要应用的很多场合函数的变量都是非负的，这说明函数在非负半轴的性质十分重要。因此，指数上的系数a对于我们解出来的微分方程的性质就起到了关键作用。

对于常系数线性微分方程而言，其解一般具有形式：

因此，各个特征值就是影响解函数的性质的关键。

我们知道，对于任意的解函数，都应有：

的形式，这是一个复数。而由Euler公式，我们能够得到：

这说明，对于解函数是否有界，起到决定作用的是特征值的实部——。

如果，则称方程：

中的多项式p为稳定多项式。

稳定多项式的概念对于计算而言是比较重要的，但是我们只关注它的一些性质即可，如果有需要的小伙伴可以自行去阅读相关的计算著作。

由于我们知道，指数函数的增长速度是相当快的，以至于一般的任何函数都不能与之比较。因此，也不难理解，即使是对于重根部分，存在幂函数和指数函数相乘的形式，只要满足稳定条件，函数最终也是趋近于0的。

因此，不难得出以下结论：

证明十分容易。取：

则显然有：

故而可以推知：

由于：

因此在t≥0时，解函数中的任意一部分都有界，于是就有：

进一步，我们得到：

令：

于是得到：

这可以用来估计函数被控制的程度。

对于稳定性的判别法，我们有一些简单的结论。比如说：

实二次多项式：

是稳定的，当且仅当。

进而可知：

实多项式：

是稳定的，则可以得到。

（命题1，可以用代数基本定理来考虑；注意这是个必要条件。）

我们可以简要研究一下对于稍微高次的多项式，其稳定的充分必要条件是什么。

以三次实多项式：

为例，按代数基本定理，我们可以在复数域范围内将其拆分为：

则有：

根据代数基本定理的结论，我们很容易知道，这三个根中，要么是只有一个实数根，要么就全是实数根。不妨设：

则有：

简单计算，可以得到：

所以，基于稳定性的要求，我们又能推知：

现在我们来看，添加了这个条件之后，我们能否得到稳定性结论。

事实上，由第二个条件，我们能直接得到：

这说明两个复数根的实部已经为复数。同时，又因为第一个必要条件，我们能够得到：

而考虑到系数的表达式，不难发现，应为复数，这就得到了稳定性。

也就是说，对于三次实多项式而言，这两个条件合并，就是其稳定的充分必要条件了。

更高阶的结论已经超出了目前需要掌握的范围，感兴趣的小伙伴们可以去阅读其他书籍或者去网络搜索相关的资料来了解。（省流：我不会~）

（你在等什么？不会是在等思考题吧~没什么好思考的，理解就好啦！常微分方程差不多就是这样子了nia~）

最後の最後に、ありがとうございました！