复数与黄金分割

最近听到有人在讲黄金分割，突然让我觉得，它会不会与复数存在着什么联系呢？，带着这一疑问，我做了大量的计算，现在把结果报告和大家分享。

     1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+i))))))))))))))))))))))＝

0.6180339887+0.0000000009i

如果对上述运算结果取倒数，即得1.618033989-0.0000000023i

由于所有的计算步骤都是相同的，我就不写过程了，直接给出结果。把上式中的 1＋i 换成 2＋2i，照同样的方法算下去，结果是：

1.618033989+0.0000000006i

如果把式中的 1+i 换成 2，结果是0.618033989

如果把式中的 1+i 换成 3+3i，结果是0.6180339897+0.0000000004i

如果把式中的 1+i 换成 20+20i，结果是   1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(20+20i))))))))))))))))))))))＝0.6180339901

如果把式中的 1+i 换成 3+4i，结果是0.6180339898+0.0000000004i

如果把式中的 1+i 换成 12+27i，结果是0.6180339901

如果把式中的 1+i 换成 0.2+0.7i，结果是0.6180339879+0.0000000019i

如果把分子上的1换成 5.083203681，分母保持原样，还按那个步骤算下去，会得到

 3.141592647+0.0000000045i

结论是，复平面上任何一个复数，在保持分子为1的前题下，按上述步骤计算，那么得到复数的实部一定是非常接近 0.618 的一个数，或取倒数得到实部一定是非常接近 1.618 的一个数，虚部趋向于无穷小，也就是0。如果分子大于1，比如5.083203681，则可以得到圆周率的近似值3.141592647，虚部可以忽略不记，这个精度可以无限次提高。所以超越数和黄金分割数也是复数。

以上是复数与黄金分割数的关系，再来看看复数与菲波拉契数列的关系，请参看下图。

图中右斜 45度线是按菲波拉契数列给定的，线上每一个点对应一个复数，这个复数的实部或虚部都是菲波拉契数列中的数，且实部与虚部相等，如 2+2i，3＋3i，5＋5i，8＋8i.....

现在我们用复数的乘法将这条右斜 45度线变成左斜线，且相互平行，如图所示。

下面是计算结果，分别对应图中的左斜线。第一组结果除外，稍后再说。

（2＋2i）*（1－i）＝4

（3＋3i）*（1－i）＝6

（5＋5i）*（1－i）＝10

（8＋8i）*（1－i）＝16

（2＋2i）*（1＋i）＝4i

（3＋3i）*（1＋i）＝6i

（5＋5i）*（1＋i）＝10i

（8＋8i）*（1＋i）＝16i

（2＋2i）*（1＋2i）＝-2+6i

（3＋3i）*（1＋2i）＝-3+9i

（5＋5i）*（1＋2i）＝-5+15i

（8＋8i）*（1＋2i）＝-8＋24i

（2＋2i）*（1＋3i）＝-4+8i

（3＋3i）*（1＋3i）＝-6+12i

（5＋5i）*（1＋3i）＝-10+20i

（8＋8i）*（1＋3i）＝-16+32i

（2＋2i）*（1＋4i）＝-9+15i

（3＋3i）*（1＋4i）＝-15+25i

（5＋5i）*（1＋4i）＝-24+40i

（8＋8i）*（1＋4i）＝-39+65i

这里算出的都是左斜线上点在复平面内的座标。所有的左斜线与X轴正方向的交点即是菲波拉契数列，有的人说菲波拉契数列不是2，3，5，8……吗？

如果把我计算得出的这个数列4，6，10，16……其中每个数都除以2，即可得到菲波拉契数列 2，3，5，8……

换句话说，菲波拉契数列很多很多，只需要把该数列中的各个数都乘以同一个正整数，则它还是菲波拉契数列，即是说菲波拉契数列2，3，5，8……是数列 4，6，10，16 ……中的各个数除以 2 的一个结果，

而数列2，4，6，10，16 ……是复数运算的结果。乘法运算代表旋转，但不完全是，不过这无关紧要。而向日葵等植物的果实排列呈现菲波拉契数列，这不正说明，它是按复数的运算规律旋转排列的吗？

由菲波拉契数列得到的黄金角是137.51⁰，我得到的黄金角的度数是

135⁰，如下图所示：

想必大家注意到了图中那个最大的正方形，它就是黄金正方形。这是我根据复数运算的对称性得到的。其实根据复数的对称性，它在X轴的下半部分应该还有一个与上述图形完全对称的图形，那里也包含一个黄金正方形。我为什么说菲波拉契数列的黄金角137.51⁰不对呢，因为它破坏了对称性

          ¹  ²  ³  ⁴  ⁵  ⁶  ⁷  ⁸  ⁹  ⁺  ⁻  ⁰

，植物的果实呈现出菲波拉契数列的规律其实是由复数的对称性决定的。

而菲波拉契数列中的黄金比例正是由复数的对称性的表现。

在对复数的研究过程中我还发现一种奇特的现象，它与曼德勃罗集有关，由  Z²＋C 在复平面上做出它的函数值的某个集合，得出的图形的对称中心不在座标原点，而是在复平面上，也就是说，复数的对称轴或对称点可以不是座标轴或座标原点。

上面这个图形是 Z² 的图形，当 Z＝1时，就得到外面的大圆，将 Z＝1 的函数值在放入 Z² 中就得到比外面的大圆略小一点的圆，再把这个圆上的点对应的复数代入 Z² 的运算，又得到一个比它略小一点的圆，重复上述操作 11 次，即不断把Z的函数值代入 Z² 并迭代运算11次，就会变成 0 。

我曾设想 Z²＋C 中的指数对任意正整数均成立，即将 2 换成任意正整数，它的函数值仍在曼德勃罗集中，我试着把指数换成 4，6，8 并进行了计算，其函数值正好在曼德勃罗集中，恰如我所料。计算结果我就不展现了。

共线的任意两个复数之积仍然共线。