实变函数漫谈(8)建立测度的过程1

2023-06-22 11:26 作者:南海之声sonnet耳放 0人读过 | 我要投稿

建立测度是这样的一个顺序：对一个基本的集类 $E$ ，比如说左开右并的区间，先定义其测度，然后可以可以将它延拓到 $R(E)$ 上，然后尝试延拓到 $S(E)$ ，在延拓的过程中牢记保持测度的可列可加性。现在不管测度是如何延拓的，先从可列可加性看看测度在σ环上具有哪些性质。测度是否对单调序列具有连续性：分别考虑单调增和单调减的情况： $m(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20A_i)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20m(A_i)%EF%BC%8Cm(%5Cbigcap_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20A_i)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20m(A_i)$

如果 $A_i$ 是单调增的，那么定义 $B_i%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7Bi%7DA_n-%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7Bi-1%7DA_n%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%8F%91%E7%8E%B0B_i%E6%98%AF%E4%BA%92%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E7%9A%84$

$m(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20A_i)%3Dm(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20B_i)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%5Cinfty%20m(B_i)%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20m(B_i)%20%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7Dm(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20B_i)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7Dm(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i)$

如果 $A_i$ 是单调减的，定义 $B_i%3DA_1-A_i%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%8F%91%E7%8E%B0B_i%E6%98%AF%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%A2%9E%E7%9A%84$ $m(%5Cbigcap_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20A_i)%3Dm(A_1-%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20B_i)%3Dm(A_1)-%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20m(B_n)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20(m(A_1)-m(B_n))%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%7D%20A_i$

如果不是单调的序列，考虑上下极限会出现什么情况呢，可以自己试一下，用定义并不难!

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