[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.6

2023-08-19 14:29 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻译：野吕侯奈因

仅供学习交流使用

译者按：

本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

1.6. 离心率及圆锥曲线的另一定义

丹迪林双球的构造揭示了圆锥曲线的另一个重要性质．

设一平面 $%5Cpi$ 与一以 $S$ 为顶点的圆锥的所有母线相交．考虑该圆锥的一个内切球，其切 $%5Cpi$ 于一点 $F_1$ ．接着就像处理抛物线时那样，设 $%5Csigma$ 为圆锥上诸切点所在平面， $l$ 为 $%5Cpi$ 与 $%5Csigma$ 的交线．设点 $X$ 在圆锥面与平面 $%5Cpi$ 的相交部分上， $Y$ 为直线 $SX$ 与 $%5Csigma$ 的交点， $Z$ 为 $X$ 在 $l$ 上的投影．我们就能得出以下结论： $XY$ 与 $XZ$ 之比为定值，也就是说其与 $X$ 的选取无关（译者注：见图1.23）．

设 $T$ 为 $X$ 在 $%5Csigma$ 上的投影，则有 $XT$ 与 $XY$ 的比值与 $X$ 的选取无关，而等于圆锥的母线与其轴线的夹角余弦值（称该角为 $%5Calpha$ ），且 $XT$ 与 $XZ$ 的比值与 $X$ 的选取也无关，而等于平面 $%5Cpi$ 与圆锥轴线的夹角余弦值（称该角为 $%5Cbeta$ ），故可得 $%5Cfrac%7BXY%7D%7BXZ%7D%3D%5Cfrac%7BXY%7D%7BXT%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BXT%7D%7BXZ%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Cbeta%7D%7B%5Ccos%5Calpha%7D$ ．由 $XF_1%3DXY$ （过 $X$ 引同一球的两条切线长度相等），有 $XF_1$ 与 $XZ$ 的比值为定值．

因此对于任意的圆锥曲线都存在一条直线 $l$ 使得对于在该圆锥曲线上的任意一点都有其到焦点与其到该直线的距离之比为定值．该值即为圆锥曲线的离心率(eccentricity)，而该直线即为准线(directrix)．对于椭圆和抛物线，都存在两条准线（分别对应于两焦点）．

不难发现可以由此性质引出二次曲线的另一定义．

以 $F$ 为焦点， $l$ 为准线（ $F$ 不在 $l$ 上）， $%5Cepsilon$ 为其离心率的圆锥曲线表示了所有到 $F$ 与到 $l$ 的距离之比等于 $%5Cepsilon$ 的点的集合．

当 $%5Cepsilon%20%3E1$ 时，该曲线为双曲线；当 $%5Cepsilon%20%3C1$ 时，其为椭圆；而当 $%5Cepsilon%3D1$ 时，则为抛物线．

习题4. 求证所有以 $F$ 为焦点且过一点 $P$ 的等轴双曲线其渐近线都会与两个圆相切（每条渐近线对应一个圆）．

（以下内容摘自本书第五章：习题解答）

解答. 显然，所有等轴双曲线的离心率都等于 $%5Csqrt%202$ （读者不妨自行验证）．

（译者注：事实上，由于在将等轴双曲线所在平面 $%5Cpi$ 平移的过程中并没有改变其与轴线的夹角，故可以考虑其退化形式，即两条垂直的直线．

设 $%5Cpi$ 过 $S$ 与以 $S$ 为顶点的圆锥面相交，任取一与轴线垂直的平面 $%5Csigma$ ，交 $%5Cpi$ 于直线 $l$ ， $l$ 与圆锥面交于两点，设其中一点为 $B$ ， $H$ 为 $S$ 在 $%5Csigma$ 上的投影， $A$ 为 $S$ 在 $l$ 上的投影，设 $%5Cangle%20BSH$ 为 $%5Calpha$ ， $%5Cangle%20ASH$ 为 $%5Cbeta$ ， $%5Cangle%20ASB$ 为 $%5Cgamma$ ．则有 $%5Cepsilon%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Cbeta%7D%7B%5Ccos%20%5Calpha%7D$ ，而由三余弦定理，有 $%5Ccos%5Cgamma%5Ccdot%5Ccos%5Cbeta%3D%5Ccos%5Calpha$ ，故可得 $%5Cepsilon%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5Cgamma%7D%3D%5Csqrt2$ （图m）．）

因此这类双曲线的准线到 $P$ 的距离都为 $%5Cfrac%7BFP%7D%7B%5Csqrt2%7D$ ，于是它们就会切于一个以 $P$ 为圆心， $%5Cfrac%7BFP%7D%7B%5Csqrt2%7D$ 为半径的圆 $%5Comega$ ．不难发现它们可以取遍这整个圆（因为该圆的每条切线都会对应于一个以 $F$ 为焦点，过 $P$ 且以该切线为准线的等轴双曲线）．另外，这些准线还可由以 $F$ 为位似中心的旋转位似变换对应到渐近线的位置（其中旋转角分别为 $%5Cpm%2045%5E%5Ccirc$ ，位似比为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D$ ）．故此类双曲线其渐近线分别切于两个由 $%5Comega$ 经相同的位似变换对应而来的圆．（见图5.1）