大学物理（光学）知识梳理与例题选讲：§02 几何光学成像

物象基本概念

# 光学的两个难点

• 新定义多
• 光学近似（没有近似，不成光学）

关于近似在电磁学3P视频里有介绍

# 物与像的基本慨念

• 物： 光源
• 像： 光源经过光学介质汇聚的点

## 虚物与实物、虚像与实像

### 像的虚实

• 实像：实际光线的交点
• 虚像： 光线的反向延长线的交点

FAQ: 虚像为什么能被人眼看到？

人眼类似与一个光屏，但其加了一个透镜，之后会章节会讨论

### 物的虚实

• 实物：实际由光发出
• 虚物：入射光线的正向延长线的交点

### 虚实的判断的总结

出射光与入射的角度：

• 物，由入射光线判断
• 像，由出射光线判断

无法由物的虚实推断像的虚实，反之亦如此【在逐次成像章节会有讨论】

情况1：实物经过光学仪器汇聚形成实像【下图中上图】

情况2： 实物经过光学仪器发散形成虚像【下图中下图】

情况3：虚物经过光学仪器汇聚形成实像【下图中上方】

情况2： 虚物经过光学仪器发散形成虚像【下图中下方】

仅通过像或物的虚实状况无法推知另外一方的状况，因为，二者之间依赖光学仪器的性质

# 物方与像方

## 判断方式1：物与像

• 物体：实物/虚物所在的一侧
• 像方：虚像或实像所在一侧

## 判断方式2：入射与出射

该方式判断存在错误的点方后面会更正

如下图；

上方图，左侧为物方，右侧为像方

下方图，左侧为像方，右侧为物方

### 物方与像方的名词

• 物方： 又称物空间
• 像方： 又称像空间

# 物与像的性质

## 物象的共轭性

物象的共轭性：由光路的可逆性的推出

物象为可逆映射

## 物象等光程性

光线的起终点一致的光程也相等，不因光学仪器的存在而改变。在下图中光源经过透镜汇聚到终点，芮苒存在各路不同的路线，但广成是相等的【在干涉中会讲到】

补充：虚物与虚像的光程计算的问题

因Q点为虚物，因而需要取负号

其中折射率为n

虚像同理

# 物象基本概念章节小结

球面折射成像

# 球面折射成像

如下图：已知物距S 和像距 S,图中为一三维半球面，半径为 r，球心在o位置处,求出物距 S 与像距 S' 关系

外部光线的折射率为n,球面的内部折射率为n'

已知如下图所示

## 球面折射的求解思路与过程

由ΔQOM与ΔQ'OM中由正弦定理，可得

余弦定理可得

下图中的下方公式图中缺少cosφ项

由折射定理可得

考虑外角关系可得

## 球面折射方程组求解的目的

求出物距 S 与像距 S' 关系，使得表达式中仅仅可能少的出现变量，未知量

可得的表达式为

### 傍轴近似

光路由主轴的夹角比较小，如下图所示

sin^2 φ为二阶小量因而身躯

则可得

整理化简可得，球面折射关系表达式

注意：上式为一般值的球面折射公式，某些情概况为特殊情况的取值。

### 公式比较

下面为球面折射原表达式

• 更为简单，方便书写
• 相比于原表达式，折射公式保证像值唯一

如下图，像值随着φ的不同而反复波动

# 球面折射公式的符号法则

FAQ:几何光学为什么需要探讨公式的负号法则？

目的统一公式的表达，达到形式的统一

## 物距S与像距S'的负号

实正虚负：实物‘/虚物取正，虚物/虚像取负值

如下图

## 半径r的负号法则

其中顶点A，球心为O

# 球面折射公式的焦点问题

焦点：平行光经过光学仪器之后的汇聚点，如下图

## 区分物方焦距与像方焦距的关系

物方焦距 f 与像方焦距 f' 一般情况不对称，如下图

### 像方焦距S'

与球面折射公式可得，

### 物方焦距S'

如下图

由球面折射公式可得

### 物方焦距f与像方焦距f'的比较

可得物方焦距f与像方焦距f'的关系

### 球面折射公式的焦距表述式

#### 焦距形式的球面折射公式的符号法则

#### 更正物方与像方的判断方式二

物方与像方的判断方式二【P1:物象的基本概念】：

• 出射为物方
• 入射为像方

存在以下例外，因而为错误的判断方式

应该使用第一种判断方式

• 物方：物所在的一侧
• 像方：项所在的一侧

#### 物方与像方与焦距的负号的关系

# 球面折射的章节小结

透镜折射与球面反射

# 透镜

## 透镜分类

从功能区别

• 凸透镜：汇聚透镜
• 凹透镜： 发散透镜

# 透镜折射

已知条件如下

筑起这里的外界为指定的空气介质

由球面折射公式可得

求解上图的方程组可得以下表达式

注意上图中 d (....) 表示 厚度d * (省略的式子）

## 透镜折射的公式求解

### 薄透镜近似

近似可得

### Gauss透镜公式——透镜折射公式的焦距形式

焦距的定义式

在透镜折射公式中

左侧的公式在应用物方焦距 f 和像方焦距 f'二者等效，易知 物方焦距 f = 像方焦距 f'

则可得

#### Gauss透镜公式的负号法则

半径r的判定与球面折射一致

其中顶点A，球心为O

#### Gauss公式判断焦距

一般 n - 1 > 0

可得，

• 凹透镜：发散透镜，焦距f < 0
• 凸透镜：汇聚透镜， 焦距 f > 0

注意i：测焦距 f 整个透镜的焦距，必须是薄透镜

# 薄透镜的性质

## 物距与像距

物距 S2 ≈ - 像距S1'

## 特殊条件的透镜公式

外界为空气介质的薄透镜，则有

该公式的法号法则，即物距/像距，为实正虚负

• 透镜的画法

## 牛顿公式

探讨：距离物方焦距的x 与距离像方焦距 x'、焦距F的关系

由薄透镜焦距形式的公式，可得

### 牛顿公式的符号法则

利用代数表达式判断

定性判断

# 几何光学绘图

• 平行——过焦点
• 过焦点——平行
• 过中心方向不变

## 特殊光路的画法

• 凸透镜画法

注意虚像/虚物的画法

• 凹透镜的画法

## 透镜成像的小结

• 实物---（凹透镜）---> 虚像

证明如下

下式中实物因而物距S > 0，凹透镜 焦距 f < 0

因而可知其像距 S' < 0 才能使灯饰成立

• 实物---（凸透镜）---> 虚像/实像

因物距S > 0 ， 焦距 f > 0 ，像距 S' 大小取决取物距S 与 焦距 f 的相对大小决定，即

• 物距S在一倍焦距 f 以内所称为虚像， 像距S' < 0
• 物距S 大于一倍焦距 f 则所成为实像，即像距S' > 0

## 一般光路的画法

### 光学概念

• 副光轴： 过透镜中心的任意一条线，区别于主光轴
• 焦平面： 过焦点垂直与主光轴的平面
• 副焦点： 副光轴与焦平面的焦点

### 一般作图规律

• 平行与副光轴——过副焦点
• 过副焦点 —— 平行于副光轴

如下图，作图

• 凸透镜

• 凹透镜

# 透镜折射小结

• 透镜概念
• 透镜公式： Gauss透镜公式、特殊条件包透镜公式、牛顿公式
• 几何光学作图：特殊作图、一般作图

# 球面反射

平行主光轴经过球面反射，在主光轴的位置x的表达式

## 傍轴近似

即入射光里主光轴很近，则入射角 i => 0

可得

由此可得

### 符号判断

• 当 R < 0 (球心在顶点A的左侧)，起到汇聚的交过，则此时 焦距 f > 0
• 当 R > 0 (球心在顶点A的右侧)，起到发散的交过，则此时 焦距 f < 0

可得，带符号的式子

由特殊的薄透镜公式，可得

公式的符号法则

• 物距/像距S'： 实正虚负
• 半径R: 球心在顶点在左侧时， R < 0;球心在顶点在右侧时， R > 0

## 球面反射的成像作图问题

焦点F位于R/2处

• 过焦点——平行
• 平行——过焦点
• 过中心不变

### 特殊情况作图

• R < 0时

• R > 0时

# 光学仪器的放大率M

## 分类

• 横向放大率
• 视角放大率（up 不讲）

## 横向放大率

### 横向放大率的符号法则

### 放大率与像的正倒

### 横向放大率的测量

由阴影部分的三角形为相似三角形

可得，并注意符号的问题

可得

• 另一种测量方法

逐次成像

# 逐次成像的定义

【个人】物、像在经过的光学仪器中迭代出现

各次成像的衔接，该表达式可由透镜折射公式中使用到，区别在于薄透镜的厚度为d, 即为下式中的 dn，薄透镜d => 0

## 简单的逐次成像

• 实像---实物

易得

• 虚像----实物

由符号法则，即物像实正虚负法则

二次成像的物距S2的符号判断问题

此处物距S2取正值，因其相对与光学仪器2为实物，因而取正数。物像的判断依赖光学仪器

FAQ:是不是一次成虚像二次成像为实物呢？

部队的，如下图

易知一次成像对于光学仪器1为虚像，像距S'1 < 0, 二次成像对于光学仪器为虚物，物距S2 < 0(实正虚负)

前一次的像虚实与二次成像的物虚实无必然联系，因为二者所依赖的光学仪器性质，物像距不一定一样。具体而言，一次成像的像虚实依赖物距与光学仪器的性质（汇聚、发散）有关，而二次成像的物虚实依赖与另一光学仪器的物距有光

## 逐次成像的放大率

总放大率M = 各次成像的放大率 Mi 的累乘

## 平面折射的逐次成像

由球面折射公式，可得，又知该球面半径r => ∞

即可知，定性：实物成虚像，虚物成实像

# 例题：逐次成像

## 例1：求解像的位置与大小【放大率】

易知空气的折射率n为 1，由透镜折射公式可得

做出光路图

由逐次成像的衔接距与物象距的关系，可得二次成像的物距S2为 -5 cm

由薄透镜的焦距形式的球面折射公式【P2：薄透镜与球面反射】，可得二次成像的像距S'2 = 10 cm

画出光路图

• 求解放大率

## 例2：牙形透镜问题

注意以下题目，在评论区被讨论较多的：是否需要考虑镀银面反射之后是否需要考虑折射？最后像的位置是否在右侧？

里侧半径为r,外侧半径为3/4r的透镜，外侧读了一层银，即为反射镜，求出h所成像的位置，像的虚实，大小（放大率）

由球面折射公式可得，半径 r1在顶点的左侧，取负号

代入，可求出一次成像的像距S'1为 -1.5r

二次成像，由球面折射公式与衔接距（薄透镜厚度d取为0），可得二次成像的像距S'2为 - 3r

三次成像，由球面反射公式与衔接距（薄透镜厚度d取为0），可得三次成像的像距S'3为 3/7 r

结果为

### 求牙形透镜的放大率

利用薄透镜的特性，可得

### 疑问：镀银反射

在上面的计算的过程中，将外侧 3/4r圆弧分为两部分，折射和反射，是否可以当成镀银面只有反射？

up主认为在镀银面需要考虑折射过程折射过程，因为光线需要从玻璃面从射出，之后才被反射

### 拓展：动点问题

# 逐次成像章节总结

生活中的光学仪器

# 投影仪

## 投影仪的 放大率

当投影仪的放大率取最大值时

# 照相机

## 成像公式的讨论——像大小

可得，放大与缩小的情况

• 2倍焦距外，缩小
• 1倍焦距 f 至 2 倍焦距， 为放大

## 景深

景深：物的范围

## 人眼

• 近视

• 远视

### 一些名词

• 名师距离：眼睛不用体哦阿姐也能清楚看到的距离

• D度

# 显微镜与望眼镜

## 显微镜

放大率

英雌尽量使得武警尽量离光差物体近一点，使得一次成像里目镜的焦点更近，产生更大的放大率

## 望远镜

# 生活中的光学仪器章节小结

*用费马原理证明成像公式

# 证明球面折射公式

## 求解光程

做出辅助线

可求出光程L

## 求解光程函数

几何关系可知

将上述关系式代入原方程中

可得

### 使用等价无穷小近似

用傍轴近似，可知， d => 0

由此可得

这里有两部分

第一部分

第二部分，使用d => 0 近似

可得

最终光程L为

### 求解光程L极值

导函数为

可得最终的墙面折射公式

## 梳理使用费马原理的求解过程

• 求出光程 L 表达式
• 消元 ——> 几何关系
• 近似⭐
• 求解全导数为0

### 近似的过程

采用舍去二阶小量的近似

# 费马原理证明公式小结